Алгебра Примеры

$P (x) = x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 18 x - 72$

Этап 1

Приравняем $x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 18 x - 72$ к $0$ .

$x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 18 x - 72 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$2 x^{3} + 18 x + x^{4} + x^{2} - 72 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3} + 18 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) + 18 x + x^{4} + x^{2} - 72 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $2 x$ из $18 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (9) + x^{4} + x^{2} - 72 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{2}) + 2 x (9)$ .

$2 x (x^{2} + 9) + x^{4} + x^{2} - 72 = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 x (x^{2} + 9) + {(x^{2})}^{2} + x^{2} - 72 = 0$

Этап 2.1.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$2 x (x^{2} + 9) + u^{2} + u - 72 = 0$

Этап 2.1.5

Разложим $u^{2} + u - 72$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 72$ , а сумма — $1$ .

$- 8, 9$

Этап 2.1.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$2 x (x^{2} + 9) + (u - 8) (u + 9) = 0$

Этап 2.1.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$2 x (x^{2} + 9) + (x^{2} - 8) (x^{2} + 9) = 0$

Этап 2.1.7

Вынесем множитель $x^{2} + 9$ из $2 x (x^{2} + 9) + (x^{2} - 8) (x^{2} + 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Вынесем множитель $x^{2} + 9$ из $2 x (x^{2} + 9)$ .

$(x^{2} + 9) (2 x) + (x^{2} - 8) (x^{2} + 9) = 0$

Этап 2.1.7.2

Вынесем множитель $x^{2} + 9$ из $(x^{2} - 8) (x^{2} + 9)$ .

$(x^{2} + 9) (2 x) + (x^{2} + 9) (x^{2} - 8) = 0$

Этап 2.1.7.3

Вынесем множитель $x^{2} + 9$ из $(x^{2} + 9) (2 x) + (x^{2} + 9) (x^{2} - 8)$ .

$(x^{2} + 9) (2 x + x^{2} - 8) = 0$

Этап 2.1.8

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x^{2} + 9) (2 u + u^{2} - 8) = 0$

Этап 2.1.9

Разложим $2 u + u^{2} - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $2$ .

$- 2, 4$

Этап 2.1.9.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x^{2} + 9) ((u - 2) (u + 4)) = 0$

Этап 2.1.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x^{2} + 9) ((x - 2) (x + 4)) = 0$

Этап 2.1.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + 9) (x - 2) (x + 4) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x^{2} + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x^{2} + 9$ к $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $x^{2} + 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 9$

Этап 2.3.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Этап 2.3.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Этап 2.3.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (9)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Этап 2.3.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Этап 2.3.2.3.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Этап 2.3.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 3$

Этап 2.3.2.3.6

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \pm 3 i$

Этап 2.3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3 i$

Этап 2.3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3 i$

Этап 2.3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3 i, - 3 i$

Этап 2.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.5

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} + 9) (x - 2) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 3 i, - 3 i, 2, - 4$

Этап 3