Алгебра Примеры

$x^{8} - 26 x^{4} + 25 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $x^{8}$ в виде ${(x^{4})}^{2}$ .

${(x^{4})}^{2} - 26 x^{4} + 25 = 0$

Этап 1.2

Пусть $u = x^{4}$ . Подставим $u$ вместо $x^{4}$ для всех.

$u^{2} - 26 u + 25 = 0$

Этап 1.3

Разложим $u^{2} - 26 u + 25$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $25$ , а сумма — $- 26$ .

$- 25, - 1$

Этап 1.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 25) (u - 1) = 0$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4}$ .

$(x^{4} - 25) (x^{4} - 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{4} - 25 = 0$

$x^{4} - 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $x^{4} - 25$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x^{4} - 25$ к $0$ .

$x^{4} - 25 = 0$

Этап 3.2

Решим $x^{4} - 25 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $25$ к обеим частям уравнения.

$x^{4} = 25$

Этап 3.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt[4]{25}$

Этап 3.2.3

Упростим $\pm \sqrt[4]{25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{5^{2}}$

Этап 3.2.3.2

Перепишем $\sqrt[4]{5^{2}}$ в виде $\sqrt{\sqrt{5^{2}}}$ .

$x = \pm \sqrt{\sqrt{5^{2}}}$

Этап 3.2.3.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \sqrt{5}$

Этап 3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{5}$

Этап 3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{5}$

Этап 3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Этап 4

Приравняем $x^{4} - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x^{4} - 1$ к $0$ .

$x^{4} - 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $x^{4} - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{4} = 1$

Этап 4.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

Этап 4.2.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 4.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 4.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 4.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{4} - 25) (x^{4} - 1) = 0$ верно.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 1, - 1$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 1, - 1$

Десятичная форма:

$x = 2.23606797 \dots, - 2.23606797 \dots, 1, - 1$

Этап 7