Алгебра Примеры

$f (x) = - x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20$

Этап 1

Приравняем $- x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20$ к $0$ .

$- x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$- x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $- x^{3}$ из $- x^{4} + x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $- x^{3}$ из $- x^{4}$ .

$- x^{3} x + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $- x^{3}$ из $x^{3}$ .

$- x^{3} x - x^{3} \cdot - 1 + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $- x^{3}$ из $- x^{3} (x) - x^{3} \cdot - 1$ .

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

Этап 2.1.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 21 \cdot 20 = 420$ , а сумма — $b = - 41$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Вынесем множитель $- 41$ из $- 41 x$ .

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

Этап 2.1.3.1.2

Запишем $- 41$ как $- 20$ плюс $- 21$

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} + (- 20 - 21) x + 20 = 0$

Этап 2.1.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 20 x - 21 x + 20 = 0$

Этап 2.1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 20 x - 21 x + 20 = 0$

Этап 2.1.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- x^{3} (x - 1) + x (21 x - 20) - (21 x - 20) = 0$

Этап 2.1.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $21 x - 20$ .

$- x^{3} (x - 1) + (21 x - 20) (x - 1) = 0$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $x - 1$ из $- x^{3} (x - 1) + (21 x - 20) (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $- x^{3} (x - 1)$ .

$(x - 1) (- x^{3}) + (21 x - 20) (x - 1) = 0$

Этап 2.1.4.2

Вынесем множитель $x - 1$ из $(21 x - 20) (x - 1)$ .

$(x - 1) (- x^{3}) + (x - 1) (21 x - 20) = 0$

Этап 2.1.4.3

Вынесем множитель $x - 1$ из $(x - 1) (- x^{3}) + (x - 1) (21 x - 20)$ .

$(x - 1) (- x^{3} + 21 x - 20) = 0$

Этап 2.1.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Перепишем $- x^{3} + 21 x - 20$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.1

Разложим $- x^{3} + 21 x - 20$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.5.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Этап 2.1.5.1.1.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.1.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$- 1^{3} + 21 \cdot 1 - 20$

Этап 2.1.5.1.1.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 21 \cdot 1 - 20$

Этап 2.1.5.1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 + 21 \cdot 1 - 20$

Этап 2.1.5.1.1.3.4

Умножим $21$ на $1$ .

$- 1 + 21 - 20$

Этап 2.1.5.1.1.3.5

Добавим $- 1$ и $21$ .

$20 - 20$

Этап 2.1.5.1.1.3.6

Вычтем $20$ из $20$ .

$0$

Этап 2.1.5.1.1.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- x^{3} + 21 x - 20}{x - 1}$

Этап 2.1.5.1.1.5

Разделим $- x^{3} + 21 x - 20$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$20$

Этап 2.1.5.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$

Этап 2.1.5.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 2.1.5.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{3} + x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 2.1.5.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Этап 2.1.5.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$

Этап 2.1.5.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$

Этап 2.1.5.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Этап 2.1.5.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} + x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Этап 2.1.5.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$

Этап 2.1.5.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$

Этап 2.1.5.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $20 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$

Этап 2.1.5.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$
							+	$20 x$	-	$20$

Этап 2.1.5.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $20 x - 20$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$
							-	$20 x$	+	$20$

Этап 2.1.5.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$
							-	$20 x$	+	$20$
										$0$

Этап 2.1.5.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- x^{2} - x + 20$

Этап 2.1.5.1.1.6

Запишем $- x^{3} + 21 x - 20$ в виде набора множителей.

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} - x + 20)) = 0$

Этап 2.1.5.1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 20 = - 20$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} - (x) + 20)) = 0$

Этап 2.1.5.1.2.1.1.2

Запишем $- 1$ как $4$ плюс $- 5$

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} + (4 - 5) x + 20)) = 0$

Этап 2.1.5.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} + 4 x - 5 x + 20)) = 0$

Этап 2.1.5.1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x - 1) ((x - 1) ((- x^{2} + 4 x) - 5 x + 20)) = 0$

Этап 2.1.5.1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x - 1) ((x - 1) (x (- x + 4) + 5 (- x + 4))) = 0$

Этап 2.1.5.1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 4$ .

$(x - 1) ((x - 1) ((- x + 4) (x + 5))) = 0$

Этап 2.1.5.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 1) ((x - 1) (- x + 4) (x + 5)) = 0$

Этап 2.1.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 1) (x - 1) (- x + 4) (x + 5) = 0$

Этап 2.1.6

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$(x - 1) (x - 1) (- x + 4) (x + 5) = 0$

Этап 2.1.6.2

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$(x - 1) (x - 1) (- x + 4) (x + 5) = 0$

Этап 2.1.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(x - 1)}^{1 + 1} (- x + 4) (x + 5) = 0$

Этап 2.1.6.4

Добавим $1$ и $1$ .

${(x - 1)}^{2} (- x + 4) (x + 5) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

$- x + 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 2.3

Приравняем ${(x - 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем ${(x - 1)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 2.3.2

Решим ${(x - 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.3.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.4

Приравняем $- x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $- x + 4$ к $0$ .

$- x + 4 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $- x + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 4$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 2.4.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x = 4$

Этап 2.5

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x - 1)}^{2} (- x + 4) (x + 5) = 0$ верно.

$x = 1, 4, - 5$

Этап 3