Алгебра Примеры

$4 x^{3} - 14 x^{2} + 25$

Этап 1

Приравняем $4 x^{3} - 14 x^{2} + 25$ к $0$ .

$4 x^{3} - 14 x^{2} + 25 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $4 x^{3} - 14 x^{2} + 25$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 25, \pm 6.25, \pm 12.5, \pm 5, \pm 1.25, \pm 2.5$

Этап 2.1.3

Подставим $2.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Подставим $2.5$ в многочлен.

$4 \cdot {2.5}^{3} - 14 \cdot {2.5}^{2} + 25$

Этап 2.1.3.2

Возведем $2.5$ в степень $3$ .

$4 \cdot 15.625 - 14 \cdot {2.5}^{2} + 25$

Этап 2.1.3.3

Умножим $4$ на $15.625$ .

$62.5 - 14 \cdot {2.5}^{2} + 25$

Этап 2.1.3.4

Возведем $2.5$ в степень $2$ .

$62.5 - 14 \cdot 6.25 + 25$

Этап 2.1.3.5

Умножим $- 14$ на $6.25$ .

$62.5 - 87.5 + 25$

Этап 2.1.3.6

Вычтем $87.5$ из $62.5$ .

$- 25 + 25$

Этап 2.1.3.7

Добавим $- 25$ и $25$ .

$0$

Этап 2.1.4

Поскольку $2.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x - 5$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{4 x^{3} - 14 x^{2} + 25}{2 x - 5}$

Этап 2.1.5

Разделим $4 x^{3} - 14 x^{2} + 25$ на $2 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$5$

$4 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$25$

Этап 2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	-	$5$		$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$

Этап 2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$
			+	$4 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Этап 2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{3} - 10 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$
			-	$4 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Этап 2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$
			-	$4 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Этап 2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$
			-	$4 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	-	$5$		$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$
			-	$4 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	-	$5$		$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$
			-	$4 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$10 x$

Этап 2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x^{2} + 10 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	-	$5$		$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$
			-	$4 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$10 x$

Этап 2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	-	$5$		$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$
			-	$4 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$10 x$

Этап 2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	-	$5$		$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$
			-	$4 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$10 x$	+	$25$

Этап 2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 10 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
$2 x$	-	$5$		$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$
			-	$4 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$10 x$	+	$25$

Этап 2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
$2 x$	-	$5$		$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$
			-	$4 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$10 x$	+	$25$
							-	$10 x$	+	$25$

Этап 2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 10 x + 25$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
$2 x$	-	$5$		$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$
			-	$4 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$10 x$	+	$25$
							+	$10 x$	-	$25$

Этап 2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
$2 x$	-	$5$		$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$
			-	$4 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$10 x$	+	$25$
							+	$10 x$	-	$25$
										$0$

Этап 2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{2} - 2 x - 5$

Этап 2.1.6

Запишем $4 x^{3} - 14 x^{2} + 25$ в виде набора множителей.

$(2 x - 5) (2 x^{2} - 2 x - 5) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 5 = 0$

$2 x^{2} - 2 x - 5 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $2 x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $2 x - 5$ к $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $2 x - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 5$

Этап 2.3.2.2

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 2.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Этап 2.4

Приравняем $2 x^{2} - 2 x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $2 x^{2} - 2 x - 5$ к $0$ .

$2 x^{2} - 2 x - 5 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $2 x^{2} - 2 x - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4.2.2

Подставим значения $a = 2$ , $b = - 2$ и $c = - 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 5)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.2.3.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 40}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.2.3.1.3

Добавим $4$ и $40$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.2.3.1.4

Перепишем $44$ в виде $2^{2} \cdot 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $44$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (11)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{11}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{11}}{4}$

Этап 2.4.2.3.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{11}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{11}}{2}$

Этап 2.4.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + \sqrt{11}}{2}, \frac{1 - \sqrt{11}}{2}$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x - 5) (2 x^{2} - 2 x - 5) = 0$ верно.

$x = \frac{5}{2}, \frac{1 + \sqrt{11}}{2}, \frac{1 - \sqrt{11}}{2}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{5}{2}, \frac{1 + \sqrt{11}}{2}, \frac{1 - \sqrt{11}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 2.5, 2.15831239 \dots, - 1.15831239 \dots$

Форма смешанных чисел:

$x = 2 \frac{1}{2}, \frac{1 + \sqrt{11}}{2}, \frac{1 - \sqrt{11}}{2}$

Этап 4