Алгебра Примеры

$\sqrt{2 x} - \sqrt{36 - 2 x} = 6$

Этап 1

Решим относительно $\sqrt{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $36 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $36$ .

$\sqrt{2 x} - \sqrt{2 (18) - 2 x} = 6$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\sqrt{2 x} - \sqrt{2 (18) + 2 (- x)} = 6$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (18) + 2 (- x)$ .

$\sqrt{2 x} - \sqrt{2 (18 - x)} = 6$

Этап 1.2

Добавим $\sqrt{2 (18 - x)}$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{2 x} = 6 + \sqrt{2 (18 - x)}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 x}}^{2} = {(6 + \sqrt{2 (18 - x)})}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x}$ в виде ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(6 + \sqrt{2 (18 - x)})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(6 + \sqrt{2 (18 - x)})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(6 + \sqrt{2 (18 - x)})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 x)}^{1} = {(6 + \sqrt{2 (18 - x)})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$2 x = {(6 + \sqrt{2 (18 - x)})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(6 + \sqrt{2 (18 - x)})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(6 + \sqrt{2 (18 - x)})}^{2}$ в виде $(6 + \sqrt{2 (18 - x)}) (6 + \sqrt{2 (18 - x)})$ .

$2 x = (6 + \sqrt{2 (18 - x)}) (6 + \sqrt{2 (18 - x)})$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(6 + \sqrt{2 (18 - x)}) (6 + \sqrt{2 (18 - x)})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x = 6 (6 + \sqrt{2 (18 - x)}) + \sqrt{2 (18 - x)} (6 + \sqrt{2 (18 - x)})$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x = 6 \cdot 6 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + \sqrt{2 (18 - x)} (6 + \sqrt{2 (18 - x)})$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x = 6 \cdot 6 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + \sqrt{2 (18 - x)} \cdot 6 + \sqrt{2 (18 - x)} \sqrt{2 (18 - x)}$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $6$ на $6$ .

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + \sqrt{2 (18 - x)} \cdot 6 + \sqrt{2 (18 - x)} \sqrt{2 (18 - x)}$

Этап 3.3.1.3.1.2

Перенесем $6$ влево от $\sqrt{2 (18 - x)}$ .

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \cdot \sqrt{2 (18 - x)} + \sqrt{2 (18 - x)} \sqrt{2 (18 - x)}$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $\sqrt{2 (18 - x)} \sqrt{2 (18 - x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.3.1

Возведем $\sqrt{2 (18 - x)}$ в степень $1$ .

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + {\sqrt{2 (18 - x)}}^{1} \sqrt{2 (18 - x)}$

Этап 3.3.1.3.1.3.2

Возведем $\sqrt{2 (18 - x)}$ в степень $1$ .

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + {\sqrt{2 (18 - x)}}^{1} {\sqrt{2 (18 - x)}}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + {\sqrt{2 (18 - x)}}^{1 + 1}$

Этап 3.3.1.3.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + {\sqrt{2 (18 - x)}}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.4

Перепишем ${\sqrt{2 (18 - x)}}^{2}$ в виде $2 (18 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 (18 - x)}$ в виде ${(2 (18 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + {({(2 (18 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + {(2 (18 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.3.1.3.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + {(2 (18 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + {(2 (18 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + {(2 (18 - x))}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.5

Упростим.

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 2 (18 - x)$

Этап 3.3.1.3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 2 \cdot 18 + 2 (- x)$

Этап 3.3.1.3.1.6

Умножим $2$ на $18$ .

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 36 + 2 (- x)$

Этап 3.3.1.3.1.7

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 36 - 2 x$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $36$ и $36$ .

$2 x = 72 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} - 2 x$

Этап 3.3.1.3.3

Добавим $6 \sqrt{2 (18 - x)}$ и $6 \sqrt{2 (18 - x)}$ .

$2 x = 72 + 12 \sqrt{2 (18 - x)} - 2 x$

Этап 4

Решим относительно $12 \sqrt{2 (18 - x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $72 + 12 \sqrt{2 (18 - x)} - 2 x = 2 x$ .

$72 + 12 \sqrt{2 (18 - x)} - 2 x = 2 x$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $12 \sqrt{2 (18 - x)}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $72$ из обеих частей уравнения.

$12 \sqrt{2 (18 - x)} - 2 x = 2 x - 72$

Этап 4.2.2

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$12 \sqrt{2 (18 - x)} = 2 x - 72 + 2 x$

Этап 4.2.3

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$12 \sqrt{2 (18 - x)} = 4 x - 72$

Этап 5

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(12 \sqrt{2 (18 - x)})}^{2} = {(4 x - 72)}^{2}$

Этап 6

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 (18 - x)}$ в виде ${(2 (18 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(12 {(2 (18 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x - 72)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(12 {(2 (18 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(12 {(2 \cdot 18 + 2 (- x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x - 72)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Умножим $2$ на $18$ .

${(12 {(36 + 2 (- x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x - 72)}^{2}$

Этап 6.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

${(12 {(36 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x - 72)}^{2}$

Этап 6.2.1.2.3

Применим правило умножения к $12 {(36 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$12^{2} {({(36 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x - 72)}^{2}$

Этап 6.2.1.2.4

Возведем $12$ в степень $2$ .

$144 {({(36 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x - 72)}^{2}$

Этап 6.2.1.2.5

Перемножим экспоненты в ${({(36 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$144 {(36 - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x - 72)}^{2}$

Этап 6.2.1.2.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$144 {(36 - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x - 72)}^{2}$

Этап 6.2.1.2.5.2.2

Перепишем это выражение.

$144 {(36 - 2 x)}^{1} = {(4 x - 72)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Упростим.

$144 (36 - 2 x) = {(4 x - 72)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$144 \cdot 36 + 144 (- 2 x) = {(4 x - 72)}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.5.1

Умножим $144$ на $36$ .

$5184 + 144 (- 2 x) = {(4 x - 72)}^{2}$

Этап 6.2.1.5.2

Умножим $- 2$ на $144$ .

$5184 - 288 x = {(4 x - 72)}^{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим ${(4 x - 72)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Перепишем ${(4 x - 72)}^{2}$ в виде $(4 x - 72) (4 x - 72)$ .

$5184 - 288 x = (4 x - 72) (4 x - 72)$

Этап 6.3.1.2

Развернем $(4 x - 72) (4 x - 72)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5184 - 288 x = 4 x (4 x - 72) - 72 (4 x - 72)$

Этап 6.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5184 - 288 x = 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 72 - 72 (4 x - 72)$

Этап 6.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5184 - 288 x = 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 72 - 72 (4 x) - 72 \cdot - 72$

Этап 6.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5184 - 288 x = 4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 72 - 72 (4 x) - 72 \cdot - 72$

Этап 6.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$5184 - 288 x = 4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 72 - 72 (4 x) - 72 \cdot - 72$

Этап 6.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$5184 - 288 x = 4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot - 72 - 72 (4 x) - 72 \cdot - 72$

Этап 6.3.1.3.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$5184 - 288 x = 16 x^{2} + 4 x \cdot - 72 - 72 (4 x) - 72 \cdot - 72$

Этап 6.3.1.3.1.4

Умножим $- 72$ на $4$ .

$5184 - 288 x = 16 x^{2} - 288 x - 72 (4 x) - 72 \cdot - 72$

Этап 6.3.1.3.1.5

Умножим $4$ на $- 72$ .

$5184 - 288 x = 16 x^{2} - 288 x - 288 x - 72 \cdot - 72$

Этап 6.3.1.3.1.6

Умножим $- 72$ на $- 72$ .

$5184 - 288 x = 16 x^{2} - 288 x - 288 x + 5184$

Этап 6.3.1.3.2

Вычтем $288 x$ из $- 288 x$ .

$5184 - 288 x = 16 x^{2} - 576 x + 5184$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$16 x^{2} - 576 x + 5184 = 5184 - 288 x$

Этап 7.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $288 x$ к обеим частям уравнения.

$16 x^{2} - 576 x + 5184 + 288 x = 5184$

Этап 7.2.2

Добавим $- 576 x$ и $288 x$ .

$16 x^{2} - 288 x + 5184 = 5184$

Этап 7.3

Вычтем $5184$ из обеих частей уравнения.

$16 x^{2} - 288 x + 5184 - 5184 = 0$

Этап 7.4

Объединим противоположные члены в $16 x^{2} - 288 x + 5184 - 5184$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вычтем $5184$ из $5184$ .

$16 x^{2} - 288 x + 0 = 0$

Этап 7.4.2

Добавим $16 x^{2} - 288 x$ и $0$ .

$16 x^{2} - 288 x = 0$

Этап 7.5

Вынесем множитель $16 x$ из $16 x^{2} - 288 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель $16 x$ из $16 x^{2}$ .

$16 x (x) - 288 x = 0$

Этап 7.5.2

Вынесем множитель $16 x$ из $- 288 x$ .

$16 x (x) + 16 x (- 18) = 0$

Этап 7.5.3

Вынесем множитель $16 x$ из $16 x (x) + 16 x (- 18)$ .

$16 x (x - 18) = 0$

Этап 7.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 18 = 0$

Этап 7.7

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 7.8

Приравняем $x - 18$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Приравняем $x - 18$ к $0$ .

$x - 18 = 0$

Этап 7.8.2

Добавим $18$ к обеим частям уравнения.

$x = 18$

Этап 7.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $16 x (x - 18) = 0$ верно.

$x = 0, 18$

Этап 8

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{2 x} - \sqrt{36 - 2 x} = 6$ истинным.

$x = 18$

Этап 9