Алгебра Примеры

$5^{x} - 5^{5 - x} = 150$

Этап 1

Перепишем $5^{5 - x}$ в виде $5^{5} \cdot 5^{- x}$ .

$5^{x} - (5^{5} \cdot 5^{- x}) = 150$

Этап 2

Перепишем $5^{- x}$ в виде степенного выражения.

$5^{x} - (5^{5} \cdot {(5^{x})}^{- 1}) = 150$

Этап 3

Избавимся от скобок.

$5^{x} - 5^{5} {(5^{x})}^{- 1} = 150$

Этап 4

Подставим $u$ вместо $5^{x}$ .

$u - 5^{5} u^{- 1} = 150$

Этап 5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем $5$ в степень $5$ .

$u - 1 \cdot (3125 u^{- 1}) = 150$

Этап 5.2

Умножим $- 1$ на $3125$ .

$u - 3125 u^{- 1} = 150$

Этап 5.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u - 3125 \frac{1}{u} = 150$

Этап 5.4

Объединим $- 3125$ и $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{- 3125}{u} = 150$

Этап 5.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u - \frac{3125}{u} = 150$

Этап 6

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, u, 1$

Этап 6.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$u$

Этап 6.2

Каждый член в $u - \frac{3125}{u} = 150$ умножим на $u$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим каждый член $u - \frac{3125}{u} = 150$ на $u$ .

$u \cdot u - \frac{3125}{u} u = 150 u$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Умножим $u$ на $u$ .

$u^{2} - \frac{3125}{u} u = 150 u$

Этап 6.2.2.1.2

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3125}{u}$ в числитель.

$u^{2} + \frac{- 3125}{u} u = 150 u$

Этап 6.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$u^{2} + \frac{- 3125}{u} u = 150 u$

Этап 6.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$u^{2} - 3125 = 150 u$

Этап 6.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вычтем $150 u$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} - 3125 - 150 u = 0$

Этап 6.3.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.3.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 150$ и $c = - 3125$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{150 \pm \sqrt{{(- 150)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 3125)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1.1

Возведем $- 150$ в степень $2$ .

$u = \frac{150 \pm \sqrt{22500 - 4 \cdot 1 \cdot - 3125}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 3125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{150 \pm \sqrt{22500 - 4 \cdot - 3125}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 3125$ .

$u = \frac{150 \pm \sqrt{22500 + 12500}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.4.1.3

Добавим $22500$ и $12500$ .

$u = \frac{150 \pm \sqrt{35000}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.4.1.4

Перепишем $35000$ в виде $50^{2} \cdot 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1.4.1

Вынесем множитель $2500$ из $35000$ .

$u = \frac{150 \pm \sqrt{2500 (14)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.4.1.4.2

Перепишем $2500$ в виде $50^{2}$ .

$u = \frac{150 \pm \sqrt{50^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{150 \pm 50 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{150 \pm 50 \sqrt{14}}{2}$

Этап 6.3.4.3

Упростим $\frac{150 \pm 50 \sqrt{14}}{2}$ .

$u = 75 \pm 25 \sqrt{14}$

Этап 6.3.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = 75 + 25 \sqrt{14}, 75 - 25 \sqrt{14}$

Этап 7

Подставим $75 + 25 \sqrt{14}$ вместо $u$ в $u = 5^{x}$ .

$75 + 25 \sqrt{14} = 5^{x}$

Этап 8

Решим $75 + 25 \sqrt{14} = 5^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем уравнение в виде $5^{x} = 75 + 25 \sqrt{14}$ .

$5^{x} = 75 + 25 \sqrt{14}$

Этап 8.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (5^{x}) = \ln (75 + 25 \sqrt{14})$

Этап 8.3

Развернем $\ln (5^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (5) = \ln (75 + 25 \sqrt{14})$

Этап 8.4

Разделим каждый член $x \ln (5) = \ln (75 + 25 \sqrt{14})$ на $\ln (5)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Разделим каждый член $x \ln (5) = \ln (75 + 25 \sqrt{14})$ на $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (75 + 25 \sqrt{14})}{\ln (5)}$

Этап 8.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Сократим общий множитель $\ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (75 + 25 \sqrt{14})}{\ln (5)}$

Этап 8.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (75 + 25 \sqrt{14})}{\ln (5)}$

Этап 9

Подставим $75 - 25 \sqrt{14}$ вместо $u$ в $u = 5^{x}$ .

$75 - 25 \sqrt{14} = 5^{x}$

Этап 10

Решим $75 - 25 \sqrt{14} = 5^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем уравнение в виде $5^{x} = 75 - 25 \sqrt{14}$ .

$5^{x} = 75 - 25 \sqrt{14}$

Этап 10.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (5^{x}) = \ln (75 - 25 \sqrt{14})$

Этап 10.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (75 - 25 \sqrt{14})$ не определено.

Неопределенные

Этап 10.4

Нет решения для $5^{x} = 75 - 25 \sqrt{14}$

Нет решения

Этап 11

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \frac{\ln (75 + 25 \sqrt{14})}{\ln (5)}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{\ln (75 + 25 \sqrt{14})}{\ln (5)}$

Десятичная форма:

$x = 3.18569705 \dots$

Этап 13