Алгебра Примеры

$\frac{x - 1}{2 x + 3} - \frac{2 x - 1}{3 - 2 x} = 0$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 x + 3, 3 - 2 x, 1$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $2 x + 3$ является само значение $2 x + 3$ .

$(2 x + 3) = 2 x + 3$

$(2 x + 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $3 - 2 x$ является само значение $3 - 2 x$ .

$(3 - 2 x) = 3 - 2 x$

$(3 - 2 x)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

НОК $2 x + 3, 3 - 2 x$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(2 x + 3) (3 - 2 x)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{x - 1}{2 x + 3} - \frac{2 x - 1}{3 - 2 x} = 0$ умножим на $(2 x + 3) (3 - 2 x)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{x - 1}{2 x + 3} - \frac{2 x - 1}{3 - 2 x} = 0$ на $(2 x + 3) (3 - 2 x)$ .

$\frac{x - 1}{2 x + 3} ((2 x + 3) (3 - 2 x)) - \frac{2 x - 1}{3 - 2 x} ((2 x + 3) (3 - 2 x)) = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $2 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x - 1}{2 x + 3} ((2 x + 3) (3 - 2 x)) - \frac{2 x - 1}{3 - 2 x} ((2 x + 3) (3 - 2 x)) = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$(x - 1) (3 - 2 x) - \frac{2 x - 1}{3 - 2 x} ((2 x + 3) (3 - 2 x)) = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.1.2

Развернем $(x - 1) (3 - 2 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (3 - 2 x) - 1 (3 - 2 x) - \frac{2 x - 1}{3 - 2 x} ((2 x + 3) (3 - 2 x)) = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot 3 + x (- 2 x) - 1 (3 - 2 x) - \frac{2 x - 1}{3 - 2 x} ((2 x + 3) (3 - 2 x)) = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot 3 + x (- 2 x) - 1 \cdot 3 - 1 (- 2 x) - \frac{2 x - 1}{3 - 2 x} ((2 x + 3) (3 - 2 x)) = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.1

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$3 \cdot x + x (- 2 x) - 1 \cdot 3 - 1 (- 2 x) - \frac{2 x - 1}{3 - 2 x} ((2 x + 3) (3 - 2 x)) = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.1.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 x - 2 x \cdot x - 1 \cdot 3 - 1 (- 2 x) - \frac{2 x - 1}{3 - 2 x} ((2 x + 3) (3 - 2 x)) = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.1.3.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.3.1

Перенесем $x$ .

$3 x - 2 (x \cdot x) - 1 \cdot 3 - 1 (- 2 x) - \frac{2 x - 1}{3 - 2 x} ((2 x + 3) (3 - 2 x)) = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.1.3.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x - 2 x^{2} - 1 \cdot 3 - 1 (- 2 x) - \frac{2 x - 1}{3 - 2 x} ((2 x + 3) (3 - 2 x)) = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.1.3.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 x - 2 x^{2} - 3 - 1 (- 2 x) - \frac{2 x - 1}{3 - 2 x} ((2 x + 3) (3 - 2 x)) = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.1.3.1.5

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$3 x - 2 x^{2} - 3 + 2 x - \frac{2 x - 1}{3 - 2 x} ((2 x + 3) (3 - 2 x)) = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.1.3.2

Добавим $3 x$ и $2 x$ .

$5 x - 2 x^{2} - 3 - \frac{2 x - 1}{3 - 2 x} ((2 x + 3) (3 - 2 x)) = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.1.4

Сократим общий множитель $3 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 x - 1}{3 - 2 x}$ в числитель.

$5 x - 2 x^{2} - 3 + \frac{- (2 x - 1)}{3 - 2 x} ((2 x + 3) (3 - 2 x)) = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.1.4.2

Вынесем множитель $3 - 2 x$ из $(2 x + 3) (3 - 2 x)$ .

$5 x - 2 x^{2} - 3 + \frac{- (2 x - 1)}{3 - 2 x} ((3 - 2 x) (2 x + 3)) = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$5 x - 2 x^{2} - 3 + \frac{- (2 x - 1)}{3 - 2 x} ((3 - 2 x) (2 x + 3)) = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$5 x - 2 x^{2} - 3 - (2 x - 1) (2 x + 3) = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x - 2 x^{2} - 3 + (- (2 x) - - 1) (2 x + 3) = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.1.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$5 x - 2 x^{2} - 3 + (- 2 x - - 1) (2 x + 3) = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.1.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$5 x - 2 x^{2} - 3 + (- 2 x + 1) (2 x + 3) = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.1.8

Развернем $(- 2 x + 1) (2 x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x - 2 x^{2} - 3 - 2 x (2 x + 3) + 1 (2 x + 3) = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x - 2 x^{2} - 3 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 3 + 1 (2 x + 3) = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x - 2 x^{2} - 3 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot 3 = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.1.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.9.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x - 2 x^{2} - 3 - 2 \cdot 2 x \cdot x - 2 x \cdot 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot 3 = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.1.9.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.9.1.2.1

Перенесем $x$ .

$5 x - 2 x^{2} - 3 - 2 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot 3 = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.1.9.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x - 2 x^{2} - 3 - 2 \cdot 2 x^{2} - 2 x \cdot 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot 3 = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.1.9.1.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$5 x - 2 x^{2} - 3 - 4 x^{2} - 2 x \cdot 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot 3 = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.1.9.1.4

Умножим $3$ на $- 2$ .

$5 x - 2 x^{2} - 3 - 4 x^{2} - 6 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 3 = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.1.9.1.5

Умножим $2 x$ на $1$ .

$5 x - 2 x^{2} - 3 - 4 x^{2} - 6 x + 2 x + 1 \cdot 3 = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.1.9.1.6

Умножим $3$ на $1$ .

$5 x - 2 x^{2} - 3 - 4 x^{2} - 6 x + 2 x + 3 = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.1.9.2

Добавим $- 6 x$ и $2 x$ .

$5 x - 2 x^{2} - 3 - 4 x^{2} - 4 x + 3 = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Объединим противоположные члены в $5 x - 2 x^{2} - 3 - 4 x^{2} - 4 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Добавим $- 3$ и $3$ .

$5 x - 2 x^{2} - 4 x^{2} - 4 x + 0 = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.2.1.2

Добавим $5 x - 2 x^{2} - 4 x^{2} - 4 x$ и $0$ .

$5 x - 2 x^{2} - 4 x^{2} - 4 x = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $4 x$ из $5 x$ .

$- 2 x^{2} - 4 x^{2} + x = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.2.2.3

Вычтем $4 x^{2}$ из $- 2 x^{2}$ .

$- 6 x^{2} + x = 0 ((2 x + 3) (3 - 2 x))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем $(2 x + 3) (3 - 2 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 6 x^{2} + x = 0 (2 x (3 - 2 x) + 3 (3 - 2 x))$

Этап 2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 6 x^{2} + x = 0 (2 x \cdot 3 + 2 x (- 2 x) + 3 (3 - 2 x))$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 6 x^{2} + x = 0 (2 x \cdot 3 + 2 x (- 2 x) + 3 \cdot 3 + 3 (- 2 x))$

Этап 2.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Объединим противоположные члены в $2 x \cdot 3 + 2 x (- 2 x) + 3 \cdot 3 + 3 (- 2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Изменим порядок множителей в членах $2 x \cdot 3$ и $3 (- 2 x)$ .

$- 6 x^{2} + x = 0 (2 \cdot 3 x + 2 x (- 2 x) + 3 \cdot 3 - 2 \cdot 3 x)$

Этап 2.3.2.1.2

Вычтем $2 \cdot 3 x$ из $2 \cdot 3 x$ .

$- 6 x^{2} + x = 0 (2 x (- 2 x) + 3 \cdot 3 + 0)$

Этап 2.3.2.1.3

Добавим $2 x (- 2 x) + 3 \cdot 3$ и $0$ .

$- 6 x^{2} + x = 0 (2 x (- 2 x) + 3 \cdot 3)$

Этап 2.3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 6 x^{2} + x = 0 (2 \cdot - 2 x \cdot x + 3 \cdot 3)$

Этап 2.3.2.2.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Перенесем $x$ .

$- 6 x^{2} + x = 0 (2 \cdot - 2 (x \cdot x) + 3 \cdot 3)$

Этап 2.3.2.2.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 6 x^{2} + x = 0 (2 \cdot - 2 x^{2} + 3 \cdot 3)$

Этап 2.3.2.2.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 6 x^{2} + x = 0 (- 4 x^{2} + 3 \cdot 3)$

Этап 2.3.2.2.4

Умножим $3$ на $3$ .

$- 6 x^{2} + x = 0 (- 4 x^{2} + 9)$

Этап 2.3.2.3

Умножим $0$ на $- 4 x^{2} + 9$ .

$- 6 x^{2} + x = 0$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $- x$ из $- 6 x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $- x$ из $- 6 x^{2}$ .

$- x (6 x) + x = 0$

Этап 3.1.2

Перепишем $x$ в виде $1 x$ .

$- x (6 x) + 1 x = 0$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $- x$ из $1 x$ .

$- x (6 x) - x \cdot - 1 = 0$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $- x$ из $- x (6 x) - x (- 1)$ .

$- x (6 x - 1) = 0$

Этап 3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$6 x - 1 = 0$

Этап 3.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.4

Приравняем $6 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $6 x - 1$ к $0$ .

$6 x - 1 = 0$

Этап 3.4.2

Решим $6 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$6 x = 1$

Этап 3.4.2.2

Разделим каждый член $6 x = 1$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Разделим каждый член $6 x = 1$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6}$

Этап 3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6}$

Этап 3.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{6}$

Этап 3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $- x (6 x - 1) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{1}{6}$

Этап 4