Алгебра Примеры

$f (x) = x^{4} + x^{3} - x^{2} + x - 2$

Этап 1

Приравняем $x^{4} + x^{3} - x^{2} + x - 2$ к $0$ .

$x^{4} + x^{3} - x^{2} + x - 2 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$x^{4} - x^{2} + x^{3} + x - 2 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - x^{2} + x^{3} + x - 2 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 + x^{3} + x - 2 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 1) + x^{3} + x - 2 = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) + x^{3} + x - 2 = 0$

Этап 2.1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) + x^{3} + x - 2 = 0$

Этап 2.1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + x^{3} + x - 2 = 0$

Этап 2.1.5

Разложим $x^{3} + x - 2$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.5.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2$

Этап 2.1.5.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{3} + 1 - 2$

Этап 2.1.5.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$1 + 1 - 2$

Этап 2.1.5.3.3

Добавим $1$ и $1$ .

$2 - 2$

Этап 2.1.5.3.4

Вычтем $2$ из $2$ .

$0$

Этап 2.1.5.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + x - 2}{x - 1}$

Этап 2.1.5.5

Разделим $x^{3} + x - 2$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

Этап 2.1.5.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$

Этап 2.1.5.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 2.1.5.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 2.1.5.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Этап 2.1.5.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Этап 2.1.5.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Этап 2.1.5.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Этап 2.1.5.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} - x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Этап 2.1.5.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$

Этап 2.1.5.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

Этап 2.1.5.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

Этап 2.1.5.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

Этап 2.1.5.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x - 2$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

Этап 2.1.5.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$
										$0$

Этап 2.1.5.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + x + 2$

Этап 2.1.5.6

Запишем $x^{3} + x - 2$ в виде набора множителей.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0$

Этап 2.1.6

Вынесем множитель $x - 1$ из $x^{2} (x + 1) (x - 1) + (x - 1) (x^{2} + x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ .

$(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0$

Этап 2.1.6.2

Вынесем множитель $x - 1$ из $(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + (x - 1) (x^{2} + x + 2)$ .

$(x - 1) (x^{2} (x + 1) + x^{2} + x + 2) = 0$

Этап 2.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

Этап 2.1.8

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x - 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

Этап 2.1.8.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x - 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

Этап 2.1.8.2

Добавим $2$ и $1$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

Этап 2.1.9

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x^{2} + x + 2) = 0$

Этап 2.1.10

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2) = 0$

Этап 2.1.11

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1

Перепишем $x^{3} + 2 x^{2} + x + 2$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x - 1) ((x^{3} + 2 x^{2}) + x + 2) = 0$

Этап 2.1.11.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x - 1) (x^{2} (x + 2) + 1 (x + 2)) = 0$

Этап 2.1.11.1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 2$ .

$(x - 1) ((x + 2) (x^{2} + 1)) = 0$

Этап 2.1.11.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 1) (x + 2) (x^{2} + 1) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.4

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.5

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{2} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 1$

Этап 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 2.5.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 2.5.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 2.5.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 2.5.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (x + 2) (x^{2} + 1) = 0$ верно.

$x = 1, - 2, i, - i$

Этап 3