Алгебра Примеры

f (x) = 36 + 36 x - 13 x^{2} - 13 x^{3} + x^{4} + x^{5}

$f (x) = 36 + 36 x - 13 x^{2} - 13 x^{3} + x^{4} + x^{5}$

Этап 1

Приравняем

36 + 36 x - 13 x^{2} - 13 x^{3} + x^{4} + x^{5}

$36 + 36 x - 13 x^{2} - 13 x^{3} + x^{4} + x^{5}$ к

0

$0$ .

36 + 36 x - 13 x^{2} - 13 x^{3} + x^{4} + x^{5} = 0

$36 + 36 x - 13 x^{2} - 13 x^{3} + x^{4} + x^{5} = 0$

Этап 2

Решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

36 - 13 x^{2} + x^{4} + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0

$36 - 13 x^{2} + x^{4} + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

Этап 2.1.2

Перепишем средний член.

36 + 2 \cdot (6 x^{2}) - 25 x^{2} + x^{4} + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0

$36 + 2 \cdot (6 x^{2}) - 25 x^{2} + x^{4} + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

Этап 2.1.3

Переставляем члены.

36 + 2 \cdot (6 x^{2}) + x^{4} - 25 x^{2} + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0

$36 + 2 \cdot (6 x^{2}) + x^{4} - 25 x^{2} + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

Этап 2.1.4

Разложим первые три члена на множители, используя правило полного квадрата.

{(6 + x^{2})}^{2} - 25 x^{2} + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0

${(6 + x^{2})}^{2} - 25 x^{2} + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

Этап 2.1.5

Перепишем

25 x^{2}

$25 x^{2}$ в виде

{(5 x)}^{2}

${(5 x)}^{2}$ .

{(6 + x^{2})}^{2} - {(5 x)}^{2} + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0

${(6 + x^{2})}^{2} - {(5 x)}^{2} + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

Этап 2.1.6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

a = 6 + x^{2}

$a = 6 + x^{2}$ и

b = 5 x

$b = 5 x$ .

(6 + x^{2} + 5 x) (6 + x^{2} - (5 x)) + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0

$(6 + x^{2} + 5 x) (6 + x^{2} - (5 x)) + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

Этап 2.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Разложим

6 + x^{2} + 5 x

$6 + x^{2} + 5 x$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1.1

Рассмотрим форму

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно

c

$c$ , а сумма —

b

$b$ . В данном случае произведение чисел равно

6

$6$ , а сумма —

5

$5$ .

2, 3

$2, 3$

Этап 2.1.7.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - (5 x)) + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - (5 x)) + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - (5 x)) + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - (5 x)) + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

Этап 2.1.7.2

Умножим

5

$5$ на

- 1

$- 1$ .

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

Этап 2.1.8

Вынесем множитель

x

$x$ из

36 x - 13 x^{3} + x^{5}

$36 x - 13 x^{3} + x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Вынесем множитель

x

$x$ из

36 x

$36 x$ .

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x \cdot 36 - 13 x^{3} + x^{5} = 0

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x \cdot 36 - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

Этап 2.1.8.2

Вынесем множитель

x

$x$ из

- 13 x^{3}

$- 13 x^{3}$ .

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x \cdot 36 + x (- 13 x^{2}) + x^{5} = 0

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x \cdot 36 + x (- 13 x^{2}) + x^{5} = 0$

Этап 2.1.8.3

Вынесем множитель

x

$x$ из

x^{5}

$x^{5}$ .

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x \cdot 36 + x (- 13 x^{2}) + x \cdot x^{4} = 0

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x \cdot 36 + x (- 13 x^{2}) + x \cdot x^{4} = 0$

Этап 2.1.8.4

Вынесем множитель

x

$x$ из

x \cdot 36 + x (- 13 x^{2})

$x \cdot 36 + x (- 13 x^{2})$ .

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x \cdot (36 - 13 x^{2}) + x \cdot x^{4} = 0

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x \cdot (36 - 13 x^{2}) + x \cdot x^{4} = 0$

Этап 2.1.8.5

Вынесем множитель

x

$x$ из

x \cdot (36 - 13 x^{2}) + x \cdot x^{4}

$x \cdot (36 - 13 x^{2}) + x \cdot x^{4}$ .

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x (36 - 13 x^{2} + x^{4}) = 0

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x (36 - 13 x^{2} + x^{4}) = 0$

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x (36 - 13 x^{2} + x^{4}) = 0

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x (36 - 13 x^{2} + x^{4}) = 0$

Этап 2.1.9

Перепишем средний член.

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x (36 + 2 \cdot (6 x^{2}) - 25 x^{2} + x^{4}) = 0

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x (36 + 2 \cdot (6 x^{2}) - 25 x^{2} + x^{4}) = 0$

Этап 2.1.10

Переставляем члены.

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x (36 + 2 \cdot (6 x^{2}) + x^{4} - 25 x^{2}) = 0

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x (36 + 2 \cdot (6 x^{2}) + x^{4} - 25 x^{2}) = 0$

Этап 2.1.11

Разложим первые три члена на множители, используя правило полного квадрата.

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x ({(6 + x^{2})}^{2} - 25 x^{2}) = 0

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x ({(6 + x^{2})}^{2} - 25 x^{2}) = 0$

Этап 2.1.12

Перепишем

25 x^{2}

$25 x^{2}$ в виде

{(5 x)}^{2}

${(5 x)}^{2}$ .

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x ({(6 + x^{2})}^{2} - {(5 x)}^{2}) = 0

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x ({(6 + x^{2})}^{2} - {(5 x)}^{2}) = 0$

Этап 2.1.13

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

a = 6 + x^{2}

$a = 6 + x^{2}$ и

b = 5 x

$b = 5 x$ .

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x ((6 + x^{2} + 5 x) (6 + x^{2} - (5 x))) = 0

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x ((6 + x^{2} + 5 x) (6 + x^{2} - (5 x))) = 0$

Этап 2.1.14

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.14.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.14.1.1

Разложим

6 + x^{2} + 5 x

$6 + x^{2} + 5 x$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.14.1.1.1

Рассмотрим форму

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно

c

$c$ , а сумма —

b

$b$ . В данном случае произведение чисел равно

6

$6$ , а сумма —

5

$5$ .

2, 3

$2, 3$

Этап 2.1.14.1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x ((x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - (5 x))) = 0

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x ((x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - (5 x))) = 0$

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x ((x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - (5 x))) = 0

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x ((x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - (5 x))) = 0$

Этап 2.1.14.1.2

Умножим

5

$5$ на

- 1

$- 1$ .

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x ((x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)) = 0

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x ((x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)) = 0$

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x ((x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)) = 0

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x ((x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)) = 0$

Этап 2.1.14.2

Избавимся от ненужных скобок.

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) = 0

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) = 0$

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) = 0

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) = 0$

Этап 2.1.15

Вынесем множитель

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)$ из

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.15.1

Вынесем множитель

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)$ из

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)$ .

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (1) + x (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) = 0

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (1) + x (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) = 0$

Этап 2.1.15.2

Вынесем множитель

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)$ из

x (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)

$x (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)$ .

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (1) + (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (x) = 0

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (1) + (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (x) = 0$

Этап 2.1.15.3

Вынесем множитель

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)$ из

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (1) + (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (x)

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (1) + (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (x)$ .

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (1 + x) = 0

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (1 + x) = 0$

(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (1 + x) = 0

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (1 + x) = 0$

Этап 2.1.16

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.16.1

Разложим

6 + x^{2} - 5 x

$6 + x^{2} - 5 x$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.16.1.1

Рассмотрим форму

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно

c

$c$ , а сумма —

b

$b$ . В данном случае произведение чисел равно

6

$6$ , а сумма —

- 5

$- 5$ .

- 3, - 2

$- 3, - 2$

Этап 2.1.16.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

(x + 2) (x + 3) ((x - 3) (x - 2)) (1 + x) = 0

$(x + 2) (x + 3) ((x - 3) (x - 2)) (1 + x) = 0$

(x + 2) (x + 3) ((x - 3) (x - 2)) (1 + x) = 0

$(x + 2) (x + 3) ((x - 3) (x - 2)) (1 + x) = 0$

Этап 2.1.16.2

Избавимся от ненужных скобок.

(x + 2) (x + 3) (x - 3) (x - 2) (1 + x) = 0

$(x + 2) (x + 3) (x - 3) (x - 2) (1 + x) = 0$

(x + 2) (x + 3) (x - 3) (x - 2) (1 + x) = 0

$(x + 2) (x + 3) (x - 3) (x - 2) (1 + x) = 0$

(x + 2) (x + 3) (x - 3) (x - 2) (1 + x) = 0

$(x + 2) (x + 3) (x - 3) (x - 2) (1 + x) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

0

$0$ , все выражение равно

0

$0$ .

x + 2 = 0

$x + 2 = 0$

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

1 + x = 0

$1 + x = 0$

Этап 2.3

Приравняем

x + 2

$x + 2$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем

x + 2

$x + 2$ к

0

$0$ .

x + 2 = 0

$x + 2 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем

2

$2$ из обеих частей уравнения.

x = - 2

$x = - 2$

x = - 2

$x = - 2$

Этап 2.4

Приравняем

x + 3

$x + 3$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем

x + 3

$x + 3$ к

0

$0$ .

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

Этап 2.4.2

Вычтем

3

$3$ из обеих частей уравнения.

x = - 3

$x = - 3$

x = - 3

$x = - 3$

Этап 2.5

Приравняем

x - 3

$x - 3$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем

x - 3

$x - 3$ к

0

$0$ .

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим

3

$3$ к обеим частям уравнения.

x = 3

$x = 3$

x = 3

$x = 3$

Этап 2.6

Приравняем

x - 2

$x - 2$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем

x - 2

$x - 2$ к

0

$0$ .

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

Этап 2.6.2

Добавим

2

$2$ к обеим частям уравнения.

x = 2

$x = 2$

x = 2

$x = 2$

Этап 2.7

Приравняем

1 + x

$1 + x$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Приравняем

1 + x

$1 + x$ к

0

$0$ .

1 + x = 0

$1 + x = 0$

Этап 2.7.2

Вычтем

1

$1$ из обеих частей уравнения.

x = - 1

$x = - 1$

x = - 1

$x = - 1$

Этап 2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых

(x + 2) (x + 3) (x - 3) (x - 2) (1 + x) = 0

$(x + 2) (x + 3) (x - 3) (x - 2) (1 + x) = 0$ верно.

x = - 2, - 3, 3, 2, - 1

$x = - 2, - 3, 3, 2, - 1$

x = - 2, - 3, 3, 2, - 1

$x = - 2, - 3, 3, 2, - 1$

Этап 3