Алгебра Примеры

$\frac{2 x^{2}}{x - 2} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 2, 2 - x$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $2 - x$ является само значение $2 - x$ .

$(2 - x) = 2 - x$

$(2 - x)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

НОК $x - 2, 2 - x$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 2) (2 - x)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{2 x^{2}}{x - 2} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x}$ умножим на $(x - 2) (2 - x)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{2 x^{2}}{x - 2} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x}$ на $(x - 2) (2 - x)$ .

$\frac{2 x^{2}}{x - 2} ((x - 2) (2 - x)) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2}}{x - 2} ((x - 2) (2 - x)) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Этап 2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} (2 - x) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} (- x) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Этап 2.2.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x^{2} + 2 x^{2} (- x) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Этап 2.2.1.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{2} x = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Этап 2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Перенесем $x$ .

$4 x^{2} + 2 \cdot - 1 (x \cdot x^{2}) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Этап 2.2.2.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 x^{2} + 2 \cdot - 1 (x^{1} x^{2}) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Этап 2.2.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{1 + 2} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Этап 2.2.2.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{3} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Этап 2.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $2 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $2 - x$ из $(x - 2) (2 - x)$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((2 - x) (x - 2))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$4 x^{2} - 2 x^{3} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((2 - x) (x - 2))$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$4 x^{2} - 2 x^{3} = (- 7 x + 6) (x - 2)$

Этап 2.3.2

Развернем $(- 7 x + 6) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x (x - 2) + 6 (x - 2)$

Этап 2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x \cdot x - 7 x \cdot - 2 + 6 (x - 2)$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x \cdot x - 7 x \cdot - 2 + 6 x + 6 \cdot - 2$

Этап 2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 (x \cdot x) - 7 x \cdot - 2 + 6 x + 6 \cdot - 2$

Этап 2.3.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x^{2} - 7 x \cdot - 2 + 6 x + 6 \cdot - 2$

Этап 2.3.3.1.2

Умножим $- 2$ на $- 7$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x^{2} + 14 x + 6 x + 6 \cdot - 2$

Этап 2.3.3.1.3

Умножим $6$ на $- 2$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x^{2} + 14 x + 6 x - 12$

Этап 2.3.3.2

Добавим $14 x$ и $6 x$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x^{2} + 20 x - 12$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Добавим $7 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 7 x^{2} = 20 x - 12$

Этап 3.1.2

Вычтем $20 x$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 7 x^{2} - 20 x = - 12$

Этап 3.1.3

Добавим $4 x^{2}$ и $7 x^{2}$ .

$- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x = - 12$

Этап 3.2

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x + 12 = 0$

Этап 3.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разложим $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x + 12$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 3.3.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Этап 3.3.1.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$- 2 \cdot 2^{3} + 11 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2 + 12$

Этап 3.3.1.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- 2 \cdot 8 + 11 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2 + 12$

Этап 3.3.1.3.3

Умножим $- 2$ на $8$ .

$- 16 + 11 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2 + 12$

Этап 3.3.1.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 16 + 11 \cdot 4 - 20 \cdot 2 + 12$

Этап 3.3.1.3.5

Умножим $11$ на $4$ .

$- 16 + 44 - 20 \cdot 2 + 12$

Этап 3.3.1.3.6

Добавим $- 16$ и $44$ .

$28 - 20 \cdot 2 + 12$

Этап 3.3.1.3.7

Умножим $- 20$ на $2$ .

$28 - 40 + 12$

Этап 3.3.1.3.8

Вычтем $40$ из $28$ .

$- 12 + 12$

Этап 3.3.1.3.9

Добавим $- 12$ и $12$ .

$0$

Этап 3.3.1.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x + 12}{x - 2}$

Этап 3.3.1.5

Разделим $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x + 12$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$20 x$

$12$

Этап 3.3.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$

Этап 3.3.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Этап 3.3.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{3} + 4 x^{2}$ .

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Этап 3.3.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

Этап 3.3.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$

Этап 3.3.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $7 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$

Этап 3.3.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$

Этап 3.3.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $7 x^{2} - 14 x$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$

Этап 3.3.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$

Этап 3.3.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Этап 3.3.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Этап 3.3.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	+	$12$

Этап 3.3.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x + 12$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$

Этап 3.3.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$
										$0$

Этап 3.3.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- 2 x^{2} + 7 x - 6$

Этап 3.3.1.6

Запишем $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x + 12$ в виде набора множителей.

$(x - 2) (- 2 x^{2} + 7 x - 6) = 0$

Этап 3.3.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 2 \cdot - 6 = 12$ , а сумма — $b = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Вынесем множитель $7$ из $7 x$ .

$(x - 2) (- 2 x^{2} + 7 (x) - 6) = 0$

Этап 3.3.2.1.1.2

Запишем $7$ как $3$ плюс $4$

$(x - 2) (- 2 x^{2} + (3 + 4) x - 6) = 0$

Этап 3.3.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 2) (- 2 x^{2} + 3 x + 4 x - 6) = 0$

Этап 3.3.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x - 2) ((- 2 x^{2} + 3 x) + 4 x - 6) = 0$

Этап 3.3.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x - 2) (x (- 2 x + 3) - 2 (- 2 x + 3)) = 0$

Этап 3.3.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 2 x + 3$ .

$(x - 2) ((- 2 x + 3) (x - 2)) = 0$

Этап 3.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 2) (- 2 x + 3) (x - 2) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$- 2 x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 3.6

Приравняем $- 2 x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $- 2 x + 3$ к $0$ .

$- 2 x + 3 = 0$

Этап 3.6.2

Решим $- 2 x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x = - 3$

Этап 3.6.2.2

Разделим каждый член $- 2 x = - 3$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Разделим каждый член $- 2 x = - 3$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Этап 3.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Этап 3.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 2}$

Этап 3.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{3}{2}$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (- 2 x + 3) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 2, \frac{3}{2}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\frac{2 x^{2}}{x - 2} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x}$ истинным.

$x = \frac{3}{2}$

Этап 5