Алгебра Примеры

$f (x) = \log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2)$

Этап 1

Приравняем $\log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2)$ к $0$ .

$\log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2) = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{9} ((2 x + 3) (x - 2)) = 0$

Этап 2.1.2

Развернем $(2 x + 3) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{9} (2 x (x - 2) + 3 (x - 2)) = 0$

Этап 2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{9} (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 3 (x - 2)) = 0$

Этап 2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{9} (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

Этап 2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\log_{9} (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

Этап 2.1.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{9} (2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

Этап 2.1.3.1.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\log_{9} (2 x^{2} - 4 x + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

Этап 2.1.3.1.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\log_{9} (2 x^{2} - 4 x + 3 x - 6) = 0$

Этап 2.1.3.2

Добавим $- 4 x$ и $3 x$ .

$\log_{9} (2 x^{2} - x - 6) = 0$

Этап 2.2

Перепишем $\log_{9} (2 x^{2} - x - 6) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$9^{0} = 2 x^{2} - x - 6$

Этап 2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем уравнение в виде $2 x^{2} - x - 6 = 9^{0}$ .

$2 x^{2} - x - 6 = 9^{0}$

Этап 2.3.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$2 x^{2} - x - 6 = 1$

Этап 2.3.3

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - x - 6 - 1 = 0$

Этап 2.3.3.2

Вычтем $1$ из $- 6$ .

$2 x^{2} - x - 7 = 0$

Этап 2.3.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.3.5

Подставим значения $a = 2$ , $b = - 1$ и $c = - 7$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 7)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.6.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 7$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 56}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.6.1.3

Добавим $1$ и $56$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{57}}{4}$

Этап 2.3.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + \sqrt{57}}{4}, \frac{1 - \sqrt{57}}{4}$

Этап 2.4

Исключим решения, которые не делают $\log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2) = 0$ истинным.

$x = \frac{1 + \sqrt{57}}{4}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{1 + \sqrt{57}}{4}$

Десятичная форма:

$x = 2.13745860 \dots$

Этап 4