Алгебра Примеры

$0 = x^{4} - 3 x^{3} + 10 x^{2} - 24 x + 16$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $x^{4} - 3 x^{3} + 10 x^{2} - 24 x + 16 = 0$ .

$x^{4} - 3 x^{3} + 10 x^{2} - 24 x + 16 = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перегруппируем члены.

$- 3 x^{3} - 24 x + x^{4} + 10 x^{2} + 16 = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $- 3 x$ из $- 3 x^{3} - 24 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $- 3 x$ из $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 24 x + x^{4} + 10 x^{2} + 16 = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $- 3 x$ из $- 24 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot 8 + x^{4} + 10 x^{2} + 16 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $- 3 x$ из $- 3 x (x^{2}) - 3 x (8)$ .

$- 3 x (x^{2} + 8) + x^{4} + 10 x^{2} + 16 = 0$

Этап 2.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} + 8) + {(x^{2})}^{2} + 10 x^{2} + 16 = 0$

Этап 2.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- 3 x (x^{2} + 8) + u^{2} + 10 u + 16 = 0$

Этап 2.5

Разложим $u^{2} + 10 u + 16$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $16$ , а сумма — $10$ .

$2, 8$

Этап 2.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 3 x (x^{2} + 8) + (u + 2) (u + 8) = 0$

Этап 2.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} + 8) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 8) = 0$

Этап 2.7

Вынесем множитель $x^{2} + 8$ из $- 3 x (x^{2} + 8) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вынесем множитель $x^{2} + 8$ из $- 3 x (x^{2} + 8)$ .

$(x^{2} + 8) (- 3 x) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 8) = 0$

Этап 2.7.2

Вынесем множитель $x^{2} + 8$ из $(x^{2} + 2) (x^{2} + 8)$ .

$(x^{2} + 8) (- 3 x) + (x^{2} + 8) (x^{2} + 2) = 0$

Этап 2.7.3

Вынесем множитель $x^{2} + 8$ из $(x^{2} + 8) (- 3 x) + (x^{2} + 8) (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} + 8) (- 3 x + x^{2} + 2) = 0$

Этап 2.8

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x^{2} + 8) (- 3 u + u^{2} + 2) = 0$

Этап 2.9

Разложим $- 3 u + u^{2} + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $- 3$ .

$- 2, - 1$

Этап 2.9.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x^{2} + 8) ((u - 2) (u - 1)) = 0$

Этап 2.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x^{2} + 8) ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Этап 2.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + 8) (x - 2) (x - 1) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} + 8 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 4

Приравняем $x^{2} + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x^{2} + 8$ к $0$ .

$x^{2} + 8 = 0$

Этап 4.2

Решим $x^{2} + 8 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 8$

Этап 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 8}$

Этап 4.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Перепишем $- 8$ в виде $- 1 (8)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (8)}$

Этап 4.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (8)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$

Этап 4.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{8}$

Этап 4.2.3.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}$

Этап 4.2.3.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Этап 4.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{2})$

Этап 4.2.3.6

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \pm 2 i \sqrt{2}$

Этап 4.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 i \sqrt{2}$

Этап 4.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 i \sqrt{2}$

Этап 4.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}$

Этап 5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 6

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} + 8) (x - 2) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}, 2, 1$

Этап 8