Алгебра Примеры

$\frac{x - 1}{x + 1} + \frac{4}{x - 1} = \frac{5}{2}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 1, x - 1, 2$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 1.5

НОК $1, 1, 2$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 1.6

Множителем $x + 1$ является само значение $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.8

НОК $x + 1, x - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 1) (x - 1)$

Этап 1.9

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$2 (x + 1) (x - 1)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{x - 1}{x + 1} + \frac{4}{x - 1} = \frac{5}{2}$ умножим на $2 (x + 1) (x - 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{x - 1}{x + 1} + \frac{4}{x - 1} = \frac{5}{2}$ на $2 (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} (2 (x + 1) (x - 1)) + \frac{4}{x - 1} (2 (x + 1) (x - 1)) = \frac{5}{2} (2 (x + 1) (x - 1))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{x - 1}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) + \frac{4}{x - 1} (2 (x + 1) (x - 1)) = \frac{5}{2} (2 (x + 1) (x - 1))$

Этап 2.2.1.2

Объединим $2$ и $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) + \frac{4}{x - 1} (2 (x + 1) (x - 1)) = \frac{5}{2} (2 (x + 1) (x - 1))$

Этап 2.2.1.3

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x - 1)}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) + \frac{4}{x - 1} (2 (x + 1) (x - 1)) = \frac{5}{2} (2 (x + 1) (x - 1))$

Этап 2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$2 (x - 1) (x - 1) + \frac{4}{x - 1} (2 (x + 1) (x - 1)) = \frac{5}{2} (2 (x + 1) (x - 1))$

Этап 2.2.1.4

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$2 ({(x - 1)}^{1} (x - 1)) + \frac{4}{x - 1} (2 (x + 1) (x - 1)) = \frac{5}{2} (2 (x + 1) (x - 1))$

Этап 2.2.1.5

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$2 ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1}) + \frac{4}{x - 1} (2 (x + 1) (x - 1)) = \frac{5}{2} (2 (x + 1) (x - 1))$

Этап 2.2.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 {(x - 1)}^{1 + 1} + \frac{4}{x - 1} (2 (x + 1) (x - 1)) = \frac{5}{2} (2 (x + 1) (x - 1))$

Этап 2.2.1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$2 {(x - 1)}^{2} + \frac{4}{x - 1} (2 (x + 1) (x - 1)) = \frac{5}{2} (2 (x + 1) (x - 1))$

Этап 2.2.1.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 {(x - 1)}^{2} + 2 \frac{4}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = \frac{5}{2} (2 (x + 1) (x - 1))$

Этап 2.2.1.9

Умножим $2 \frac{4}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.9.1

Объединим $2$ и $\frac{4}{x - 1}$ .

$2 {(x - 1)}^{2} + \frac{2 \cdot 4}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = \frac{5}{2} (2 (x + 1) (x - 1))$

Этап 2.2.1.9.2

Умножим $2$ на $4$ .

$2 {(x - 1)}^{2} + \frac{8}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = \frac{5}{2} (2 (x + 1) (x - 1))$

Этап 2.2.1.10

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.10.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $(x + 1) (x - 1)$ .

$2 {(x - 1)}^{2} + \frac{8}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) = \frac{5}{2} (2 (x + 1) (x - 1))$

Этап 2.2.1.10.2

Сократим общий множитель.

$2 {(x - 1)}^{2} + \frac{8}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) = \frac{5}{2} (2 (x + 1) (x - 1))$

Этап 2.2.1.10.3

Перепишем это выражение.

$2 {(x - 1)}^{2} + 8 (x + 1) = \frac{5}{2} (2 (x + 1) (x - 1))$

Этап 2.2.1.11

Применим свойство дистрибутивности.

$2 {(x - 1)}^{2} + 8 x + 8 \cdot 1 = \frac{5}{2} (2 (x + 1) (x - 1))$

Этап 2.2.1.12

Умножим $8$ на $1$ .

$2 {(x - 1)}^{2} + 8 x + 8 = \frac{5}{2} (2 (x + 1) (x - 1))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 (x + 1) (x - 1)$ .

$2 {(x - 1)}^{2} + 8 x + 8 = \frac{5}{2} (2 ((x + 1) (x - 1)))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$2 {(x - 1)}^{2} + 8 x + 8 = \frac{5}{2} (2 ((x + 1) (x - 1)))$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$2 {(x - 1)}^{2} + 8 x + 8 = 5 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 2.3.2

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 {(x - 1)}^{2} + 8 x + 8 = 5 (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

Этап 2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 {(x - 1)}^{2} + 8 x + 8 = 5 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 {(x - 1)}^{2} + 8 x + 8 = 5 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Этап 2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$2 {(x - 1)}^{2} + 8 x + 8 = 5 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Этап 2.3.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$2 {(x - 1)}^{2} + 8 x + 8 = 5 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Этап 2.3.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$2 {(x - 1)}^{2} + 8 x + 8 = 5 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Этап 2.3.3.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$2 {(x - 1)}^{2} + 8 x + 8 = 5 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

Этап 2.3.3.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 {(x - 1)}^{2} + 8 x + 8 = 5 (x^{2} - x + x - 1)$

Этап 2.3.3.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$2 {(x - 1)}^{2} + 8 x + 8 = 5 (x^{2} + 0 - 1)$

Этап 2.3.3.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$2 {(x - 1)}^{2} + 8 x + 8 = 5 (x^{2} - 1)$

Этап 2.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 {(x - 1)}^{2} + 8 x + 8 = 5 x^{2} + 5 \cdot - 1$

Этап 2.3.5

Умножим $5$ на $- 1$ .

$2 {(x - 1)}^{2} + 8 x + 8 = 5 x^{2} - 5$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $5 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 {(x - 1)}^{2} + 8 x + 8 - 5 x^{2} = - 5$

Этап 3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$2 ((x - 1) (x - 1)) + 8 x + 8 - 5 x^{2} = - 5$

Этап 3.1.2.2

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) + 8 x + 8 - 5 x^{2} = - 5$

Этап 3.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) + 8 x + 8 - 5 x^{2} = - 5$

Этап 3.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + 8 x + 8 - 5 x^{2} = - 5$

Этап 3.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + 8 x + 8 - 5 x^{2} = - 5$

Этап 3.1.2.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) + 8 x + 8 - 5 x^{2} = - 5$

Этап 3.1.2.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) + 8 x + 8 - 5 x^{2} = - 5$

Этап 3.1.2.3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) + 8 x + 8 - 5 x^{2} = - 5$

Этап 3.1.2.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 (x^{2} - x - x + 1) + 8 x + 8 - 5 x^{2} = - 5$

Этап 3.1.2.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$2 (x^{2} - 2 x + 1) + 8 x + 8 - 5 x^{2} = - 5$

Этап 3.1.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1 + 8 x + 8 - 5 x^{2} = - 5$

Этап 3.1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1 + 8 x + 8 - 5 x^{2} = - 5$

Этап 3.1.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 x^{2} - 4 x + 2 + 8 x + 8 - 5 x^{2} = - 5$

Этап 3.1.3

Вычтем $5 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 4 x + 2 + 8 x + 8 = - 5$

Этап 3.1.4

Добавим $- 4 x$ и $8 x$ .

$- 3 x^{2} + 4 x + 2 + 8 = - 5$

Этап 3.1.5

Добавим $2$ и $8$ .

$- 3 x^{2} + 4 x + 10 = - 5$

Этап 3.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$- 3 x^{2} + 4 x + 10 + 5 = 0$

Этап 3.3

Добавим $10$ и $5$ .

$- 3 x^{2} + 4 x + 15 = 0$

Этап 3.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2} + 4 x + 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) + 4 x + 15 = 0$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $4 x$ .

$- (3 x^{2}) - (- 4 x) + 15 = 0$

Этап 3.4.1.3

Перепишем $15$ в виде $- 1 (- 15)$ .

$- (3 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot - 15 = 0$

Этап 3.4.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - (- 4 x)$ .

$- (3 x^{2} - 4 x) - 1 \cdot - 15 = 0$

Этап 3.4.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2} - 4 x) - 1 (- 15)$ .

$- (3 x^{2} - 4 x - 15) = 0$

Этап 3.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 15 = - 45$ , а сумма — $b = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 x$ .

$- (3 x^{2} - 4 x - 15) = 0$

Этап 3.4.2.1.1.2

Запишем $- 4$ как $5$ плюс $- 9$

$- (3 x^{2} + (5 - 9) x - 15) = 0$

Этап 3.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (3 x^{2} + 5 x - 9 x - 15) = 0$

Этап 3.4.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((3 x^{2} + 5 x) - 9 x - 15) = 0$

Этап 3.4.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (x (3 x + 5) - 3 (3 x + 5)) = 0$

Этап 3.4.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 5$ .

$- ((3 x + 5) (x - 3)) = 0$

Этап 3.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (3 x + 5) (x - 3) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $3 x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $3 x + 5$ к $0$ .

$3 x + 5 = 0$

Этап 3.6.2

Решим $3 x + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 5$

Этап 3.6.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 5$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 5$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Этап 3.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Этап 3.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

Этап 3.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{3}$

Этап 3.7

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.7.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (3 x + 5) (x - 3) = 0$ верно.

$x = - \frac{5}{3}, 3$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{5}{3}, 3$

Десятичная форма:

$x = - 1.\overline{6}, 3$

Форма смешанных чисел:

$x = - 1 \frac{2}{3}, 3$