Алгебра Примеры

$n^{\frac{1}{2}} + 6 n^{\frac{1}{4}} - 16 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $n^{\frac{1}{2}}$ в виде ${(n^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

${(n^{\frac{1}{4}})}^{2} + 6 n^{\frac{1}{4}} - 16 = 0$

Этап 1.2

Пусть $u = n^{\frac{1}{4}}$ . Подставим $u$ вместо $n^{\frac{1}{4}}$ для всех.

$u^{2} + 6 u - 16 = 0$

Этап 1.3

Разложим $u^{2} + 6 u - 16$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 16$ , а сумма — $6$ .

$- 2, 8$

Этап 1.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 2) (u + 8) = 0$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $u$ на $n^{\frac{1}{4}}$ .

$(n^{\frac{1}{4}} - 2) (n^{\frac{1}{4}} + 8) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$n^{\frac{1}{4}} - 2 = 0$

$n^{\frac{1}{4}} + 8 = 0$

Этап 3

Приравняем $n^{\frac{1}{4}} - 2$ к $0$ , затем решим относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $n^{\frac{1}{4}} - 2$ к $0$ .

$n^{\frac{1}{4}} - 2 = 0$

Этап 3.2

Решим $n^{\frac{1}{4}} - 2 = 0$ относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$n^{\frac{1}{4}} = 2$

Этап 3.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $4$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(n^{\frac{1}{4}})}^{4} = 2^{4}$

Этап 3.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Упростим ${(n^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(n^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$n^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 2^{4}$

Этап 3.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$n^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 2^{4}$

Этап 3.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$n^{1} = 2^{4}$

Этап 3.2.3.1.1.2

Упростим.

$n = 2^{4}$

Этап 3.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$n = 16$

Этап 4

Приравняем $n^{\frac{1}{4}} + 8$ к $0$ , затем решим относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $n^{\frac{1}{4}} + 8$ к $0$ .

$n^{\frac{1}{4}} + 8 = 0$

Этап 4.2

Решим $n^{\frac{1}{4}} + 8 = 0$ относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$n^{\frac{1}{4}} = - 8$

Этап 4.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $4$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(n^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 8)}^{4}$

Этап 4.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Упростим ${(n^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(n^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$n^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 8)}^{4}$

Этап 4.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$n^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 8)}^{4}$

Этап 4.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$n^{1} = {(- 8)}^{4}$

Этап 4.2.3.1.1.2

Упростим.

$n = {(- 8)}^{4}$

Этап 4.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Возведем $- 8$ в степень $4$ .

$n = 4096$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(n^{\frac{1}{4}} - 2) (n^{\frac{1}{4}} + 8) = 0$ верно.

$n = 16, 4096$

Этап 6

Исключим решения, которые не делают $n^{\frac{1}{2}} + 6 n^{\frac{1}{4}} - 16 = 0$ истинным.

$n = 16$