Алгебра Примеры

$x + 4 < \frac{5}{x}$

Этап 1

Умножим обе части на $x$ .

$(x + 4) x = \frac{5}{x} x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим $(x + 4) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + 4 x = \frac{5}{x} x$

Этап 2.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 4 x = \frac{5}{x} x$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + 4 x = \frac{5}{x} x$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} + 4 x = 5$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 4 x - 5 = 0$

Этап 3.2

Разложим $x^{2} + 4 x - 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 5$ , а сумма — $4$ .

$- 1, 5$

Этап 3.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 1) (x + 5) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 3.5

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 3.5.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (x + 5) = 0$ верно.

$x = 1, - 5$

Этап 4

Найдем область определения $x + 4 - \frac{5}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{5}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 4.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 5$

$- 5 < x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Этап 6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 6.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$(- 8) + 4 < \frac{5}{- 8}$

Этап 6.1.3

Левая часть $- 4$ меньше правой части $- 0.625$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $- 5 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 6.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$(- 2) + 4 < \frac{5}{- 2}$

Этап 6.2.3

Левая часть $2$ не меньше правой части $- 2.5$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.5$

Этап 6.3.2

Заменим $x$ на $0.5$ в исходном неравенстве.

$(0.5) + 4 < \frac{5}{0.5}$

Этап 6.3.3

Левая часть $4.5$ меньше правой части $10$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.4

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 6.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$(4) + 4 < \frac{5}{4}$

Этап 6.4.3

Левая часть $8$ не меньше правой части $1.25$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 5$ Истина

$- 5 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

$x < - 5$ Истина

$- 5 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 5$ или $0 < x < 1$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - 5 or 0 < x < 1$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 5) \cup (0, 1)$

Этап 9