Алгебра Примеры

$\frac{a^{2} + 1}{a^{2} - 1} - \frac{2}{a + 1} = \frac{a}{a - 1}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{a^{2} + 1}{a^{2} - 1^{2}} - \frac{2}{a + 1} = \frac{a}{a - 1}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = a$ и $b = 1$ .

$\frac{a^{2} + 1}{(a + 1) (a - 1)} - \frac{2}{a + 1} = \frac{a}{a - 1}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(a + 1) (a - 1), a + 1, a - 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $a + 1$ является само значение $a + 1$ .

$(a + 1) = a + 1$

$(a + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $a - 1$ является само значение $a - 1$ .

$(a - 1) = a - 1$

$(a - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $a + 1$ является само значение $a + 1$ .

$(a + 1) = a + 1$

$(a + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $a - 1$ является само значение $a - 1$ .

$(a - 1) = a - 1$

$(a - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $a + 1, a - 1, a + 1, a - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(a + 1) (a - 1)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{a^{2} + 1}{(a + 1) (a - 1)} - \frac{2}{a + 1} = \frac{a}{a - 1}$ умножим на $(a + 1) (a - 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{a^{2} + 1}{(a + 1) (a - 1)} - \frac{2}{a + 1} = \frac{a}{a - 1}$ на $(a + 1) (a - 1)$ .

$\frac{a^{2} + 1}{(a + 1) (a - 1)} ((a + 1) (a - 1)) - \frac{2}{a + 1} ((a + 1) (a - 1)) = \frac{a}{a - 1} ((a + 1) (a - 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $(a + 1) (a - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a^{2} + 1}{(a + 1) (a - 1)} ((a + 1) (a - 1)) - \frac{2}{a + 1} ((a + 1) (a - 1)) = \frac{a}{a - 1} ((a + 1) (a - 1))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$a^{2} + 1 - \frac{2}{a + 1} ((a + 1) (a - 1)) = \frac{a}{a - 1} ((a + 1) (a - 1))$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $a + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{a + 1}$ в числитель.

$a^{2} + 1 + \frac{- 2}{a + 1} ((a + 1) (a - 1)) = \frac{a}{a - 1} ((a + 1) (a - 1))$

Этап 3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$a^{2} + 1 + \frac{- 2}{a + 1} ((a + 1) (a - 1)) = \frac{a}{a - 1} ((a + 1) (a - 1))$

Этап 3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$a^{2} + 1 - 2 (a - 1) = \frac{a}{a - 1} ((a + 1) (a - 1))$

Этап 3.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$a^{2} + 1 - 2 a - 2 \cdot - 1 = \frac{a}{a - 1} ((a + 1) (a - 1))$

Этап 3.2.1.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$a^{2} + 1 - 2 a + 2 = \frac{a}{a - 1} ((a + 1) (a - 1))$

Этап 3.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$a^{2} - 2 a + 3 = \frac{a}{a - 1} ((a + 1) (a - 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $a - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $a - 1$ из $(a + 1) (a - 1)$ .

$a^{2} - 2 a + 3 = \frac{a}{a - 1} ((a - 1) (a + 1))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$a^{2} - 2 a + 3 = \frac{a}{a - 1} ((a - 1) (a + 1))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$a^{2} - 2 a + 3 = a (a + 1)$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$a^{2} - 2 a + 3 = a \cdot a + a \cdot 1$

Этап 3.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $a$ на $a$ .

$a^{2} - 2 a + 3 = a^{2} + a \cdot 1$

Этап 3.3.3.2

Умножим $a$ на $1$ .

$a^{2} - 2 a + 3 = a^{2} + a$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $a$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $a^{2}$ из обеих частей уравнения.

$a^{2} - 2 a + 3 - a^{2} = a$

Этап 4.1.2

Вычтем $a$ из обеих частей уравнения.

$a^{2} - 2 a + 3 - a^{2} - a = 0$

Этап 4.1.3

Объединим противоположные члены в $a^{2} - 2 a + 3 - a^{2} - a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Вычтем $a^{2}$ из $a^{2}$ .

$- 2 a + 3 + 0 - a = 0$

Этап 4.1.3.2

Добавим $- 2 a + 3$ и $0$ .

$- 2 a + 3 - a = 0$

Этап 4.1.4

Вычтем $a$ из $- 2 a$ .

$- 3 a + 3 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- 3 a = - 3$

Этап 4.3

Разделим каждый член $- 3 a = - 3$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим каждый член $- 3 a = - 3$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 a}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 a}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

Этап 4.3.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{- 3}{- 3}$

Этап 4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Разделим $- 3$ на $- 3$ .

$a = 1$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{a^{2} + 1}{a^{2} - 1} - \frac{2}{a + 1} = \frac{a}{a - 1}$ истинным.

$Нет решения$