Алгебра Примеры

$f (x) = \sqrt[3]{x - 1 + 4}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \sqrt[3]{x - 1 + 4}$ в виде уравнения.

$y = \sqrt[3]{x - 1 + 4}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt[3]{y - 1 + 4}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt[3]{y - 1 + 4} = x$ .

$\sqrt[3]{y - 1 + 4} = x$

Этап 3.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{y - 1 + 4}}^{3} = x^{3}$

Этап 3.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{y - 1 + 4}$ в виде ${(y - 1 + 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(y - 1 + 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${({(y - 1 + 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y - 1 + 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 1 + 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y - 1 + 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Этап 3.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y - 1 + 4)}^{1} = x^{3}$

Этап 3.3.2.1.2

Добавим $- 1$ и $4$ .

${(y + 3)}^{1} = x^{3}$

Этап 3.3.2.1.3

Упростим.

$y + 3 = x^{3}$

Этап 3.4

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$y = x^{3} - 3$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 3$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x^{3} - 3$ обратной к $f (x) = \sqrt[3]{x - 1 + 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4}) = {(\sqrt[3]{x - 1 + 4})}^{3} - 3$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Добавим $- 1$ и $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4}) = {\sqrt[3]{x + 3}}^{3} - 3$

Этап 5.2.3.2

Перепишем ${\sqrt[3]{x + 3}}^{3}$ в виде $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x + 3}$ в виде ${(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4}) = {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 3$

Этап 5.2.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4}) = {(x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 3$

Этап 5.2.3.2.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4}) = {(x + 3)}^{\frac{3}{3}} - 3$

Этап 5.2.3.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4}) = {(x + 3)}^{\frac{3}{3}} - 3$

Этап 5.2.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4}) = (x + 3) - 3$

Этап 5.2.3.2.5

Упростим.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4}) = x + 3 - 3$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x + 3 - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (x^{3} - 3)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (x^{3} - 3) = \sqrt[3]{(x^{3} - 3) - 1 + 4}$

Этап 5.3.3

Вычтем $1$ из $- 3$ .

$f (x^{3} - 3) = \sqrt[3]{x^{3} - 4 + 4}$

Этап 5.3.4

Добавим $- 4$ и $4$ .

$f (x^{3} - 3) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Этап 5.3.5

Добавим $x^{3}$ и $0$ .

$f (x^{3} - 3) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Этап 5.3.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f (x^{3} - 3) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = x^{3} - 3$ — обратная к $f (x) = \sqrt[3]{x - 1 + 4}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 3$