Алгебра Примеры

$\log_{256} (x) < \frac{1}{4}$

Этап 1

Преобразуем неравенство в равенство.

$\log_{256} (x) = \frac{1}{4}$

Этап 2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\log_{256} (x) = \frac{1}{4}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$256^{\frac{1}{4}} = x$

Этап 2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем уравнение в виде $x = 256^{\frac{1}{4}}$ .

$x = 256^{\frac{1}{4}}$

Этап 2.2.2

Упростим $256^{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Перепишем $256$ в виде $4^{4}$ .

$x = {(4^{4})}^{\frac{1}{4}}$

Этап 2.2.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 4^{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x = 4^{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 2.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x = 4^{1}$

Этап 2.2.2.3

Найдем экспоненту.

$x = 4$

Этап 3

Найдем область определения $\log_{256} (x) - \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\log_{256} (x)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x > 0$

Этап 3.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(0, \infty)$

Этап 4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Этап 5

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 5.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\log_{256} (- 2) < \frac{1}{4}$

Этап 5.1.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.1.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 5.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\log_{256} (2) < \frac{1}{4}$

Этап 5.2.3

Левая часть $0.125$ меньше правой части $0.25$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 5.3

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 5.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\log_{256} (6) < \frac{1}{4}$

Этап 5.3.3

Левая часть $0.32312031$ не меньше правой части $0.25$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x < 4$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$0 < x < 4$

Интервальное представление:

$(0, 4)$

Этап 8