Алгебра Примеры

$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 1$ , $x \geq 2$

Этап 1

Найдем множество значений заданной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

$[- 7, \infty)$

Этап 1.2

Преобразуем $[- 7, \infty)$ в неравенство.

$y \geq - 7$

Этап 2

Найдем обратную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поменяем переменные местами.

$x = 2 y^{2} - 8 y + 1$

Этап 2.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем уравнение в виде $2 y^{2} - 8 y + 1 = x$ .

$2 y^{2} - 8 y + 1 = x$

Этап 2.2.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$2 y^{2} - 8 y + 1 - x = 0$

Этап 2.2.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.2.4

Подставим значения $a = 2$ , $b = - 8$ и $c = 1 - x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (1 - x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.5.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.5.1.4

Умножим $- 8$ на $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.5.1.5

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.5.1.6

Вычтем $8$ из $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.5.1.7

Вынесем множитель $8$ из $56 + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $8$ из $56$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.5.1.7.2

Вынесем множитель $8$ из $8 \cdot 7 + 8 x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.5.1.8

Перепишем $8 (7 + x)$ в виде $2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.5.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.5.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.5.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

Этап 2.2.5.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Этап 2.2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.6.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.6.1.4

Умножим $- 8$ на $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.6.1.5

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.6.1.6

Вычтем $8$ из $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.6.1.7

Вынесем множитель $8$ из $56 + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.7.1

Вынесем множитель $8$ из $56$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.6.1.7.2

Вынесем множитель $8$ из $8 \cdot 7 + 8 x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.6.1.8

Перепишем $8 (7 + x)$ в виде $2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.6.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.6.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.6.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

Этап 2.2.6.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Этап 2.2.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Этап 2.2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.7.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.7.1.4

Умножим $- 8$ на $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.7.1.5

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.7.1.6

Вычтем $8$ из $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.7.1.7

Вынесем множитель $8$ из $56 + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1.7.1

Вынесем множитель $8$ из $56$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.7.1.7.2

Вынесем множитель $8$ из $8 \cdot 7 + 8 x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.7.1.8

Перепишем $8 (7 + x)$ в виде $2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.7.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.7.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.7.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

Этап 2.2.7.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Этап 2.2.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Этап 2.2.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Этап 2.3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}, \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Этап 3

Найдем обратную функцию, используя область определения и множество значений исходной функции.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}, x \geq - 7$

Этап 4