Алгебра Примеры

f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 1

$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 1$ ,

x \geq 2

$x \geq 2$

Этап 1

Найдем множество значений заданной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений

y

$y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

[- 7, \infty)

$[- 7, \infty)$

Этап 1.2

Преобразуем

[- 7, \infty)

$[- 7, \infty)$ в неравенство.

y \geq - 7

$y \geq - 7$

y \geq - 7

$y \geq - 7$

Этап 2

Найдем обратную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поменяем переменные местами.

x = 2 y^{2} - 8 y + 1

$x = 2 y^{2} - 8 y + 1$

Этап 2.2

Решим относительно

y

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем уравнение в виде

2 y^{2} - 8 y + 1 = x

$2 y^{2} - 8 y + 1 = x$ .

2 y^{2} - 8 y + 1 = x

$2 y^{2} - 8 y + 1 = x$

Этап 2.2.2

Вычтем

x

$x$ из обеих частей уравнения.

2 y^{2} - 8 y + 1 - x = 0

$2 y^{2} - 8 y + 1 - x = 0$

Этап 2.2.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.2.4

Подставим значения

a = 2

$a = 2$ ,

b = - 8

$b = - 8$ и

c = 1 - x

$c = 1 - x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно

y

$y$ .

\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (1 - x))}}{2 \cdot 2}

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (1 - x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Возведем

- 8

$- 8$ в степень

2

$2$ .

y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.5.1.2

Умножим

- 4

$- 4$ на

2

$2$ .

y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.5.1.4

Умножим

- 8

$- 8$ на

1

$1$ .

y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.5.1.5

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 8

$- 8$ .

y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.5.1.6

Вычтем

8

$8$ из

64

$64$ .

y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.5.1.7

Вынесем множитель

8

$8$ из

56 + 8 x

$56 + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.7.1

Вынесем множитель

8

$8$ из

56

$56$ .

y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.5.1.7.2

Вынесем множитель

8

$8$ из

8 \cdot 7 + 8 x

$8 \cdot 7 + 8 x$ .

y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.5.1.8

Перепишем

8 (7 + x)

$8 (7 + x)$ в виде

2^{2} \cdot (2 (7 + x))

$2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.8.1

Вынесем множитель

4

$4$ из

8

$8$ .

y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.5.1.8.2

Перепишем

4

$4$ в виде

2^{2}

$2^{2}$ .

y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.5.1.8.3

Добавим круглые скобки.

y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.5.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.5.2

Умножим

2

$2$ на

2

$2$ .

y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

Этап 2.2.5.3

Упростим

\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}

$\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ .

y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Этап 2.2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части

+

$+$ значения

\pm

$\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.1

Возведем

- 8

$- 8$ в степень

2

$2$ .

y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.6.1.2

Умножим

- 4

$- 4$ на

2

$2$ .

y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.6.1.4

Умножим

- 8

$- 8$ на

1

$1$ .

y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.6.1.5

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 8

$- 8$ .

y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.6.1.6

Вычтем

8

$8$ из

64

$64$ .

y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.6.1.7

Вынесем множитель

8

$8$ из

56 + 8 x

$56 + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.7.1

Вынесем множитель

8

$8$ из

56

$56$ .

y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.6.1.7.2

Вынесем множитель

8

$8$ из

8 \cdot 7 + 8 x

$8 \cdot 7 + 8 x$ .

y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.6.1.8

Перепишем

8 (7 + x)

$8 (7 + x)$ в виде

2^{2} \cdot (2 (7 + x))

$2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.8.1

Вынесем множитель

4

$4$ из

8

$8$ .

y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.6.1.8.2

Перепишем

4

$4$ в виде

2^{2}

$2^{2}$ .

y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.6.1.8.3

Добавим круглые скобки.

y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.6.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.6.2

Умножим

2

$2$ на

2

$2$ .

y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

Этап 2.2.6.3

Упростим

\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}

$\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ .

y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Этап 2.2.6.4

Заменим

\pm

$\pm$ на

+

$+$ .

y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Этап 2.2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части

-

$-$ значения

\pm

$\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1.1

Возведем

- 8

$- 8$ в степень

2

$2$ .

y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.7.1.2

Умножим

- 4

$- 4$ на

2

$2$ .

y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.7.1.4

Умножим

- 8

$- 8$ на

1

$1$ .

y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.7.1.5

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 8

$- 8$ .

y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.7.1.6

Вычтем

8

$8$ из

64

$64$ .

y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.7.1.7

Вынесем множитель

8

$8$ из

56 + 8 x

$56 + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1.7.1

Вынесем множитель

8

$8$ из

56

$56$ .

y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.7.1.7.2

Вынесем множитель

8

$8$ из

8 \cdot 7 + 8 x

$8 \cdot 7 + 8 x$ .

y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.7.1.8

Перепишем

8 (7 + x)

$8 (7 + x)$ в виде

2^{2} \cdot (2 (7 + x))

$2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1.8.1

Вынесем множитель

4

$4$ из

8

$8$ .

y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.7.1.8.2

Перепишем

4

$4$ в виде

2^{2}

$2^{2}$ .

y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.7.1.8.3

Добавим круглые скобки.

y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.7.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.7.2

Умножим

2

$2$ на

2

$2$ .

y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

Этап 2.2.7.3

Упростим

\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}

$\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ .

y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Этап 2.2.7.4

Заменим

\pm

$\pm$ на

-

$-$ .

y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Этап 2.2.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Этап 2.3

Заменим

y

$y$ на

f^{- 1} (x)

$f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}, \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}, \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}, \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}, \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Этап 3

Найдем обратную функцию, используя область определения и множество значений исходной функции.

f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}, x \geq - 7

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}, x \geq - 7$

Этап 4