Алгебра Примеры

$\frac{x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} = \frac{1}{20}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 1, x, 20$

Этап 1.2

Поскольку $x + 1, x, 20$ содержит как числа, так и переменные, для нахождения наименьшего общего кратного требуется четыре этапа. Найдем наименьшее общее кратное для числовой, переменной и составной переменной частей. Затем перемножим их.

Этапы поиска НОК для $x + 1, x, 20$ :

1. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 20$ .

2. Найдем НОК для переменной части $x^{1}$ .

3. Найдем НОК для составной переменной части $x + 1$ .

4. Перемножим все НОК.

Этап 1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.5

Простыми множителями $20$ являются $2 \cdot 2 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

У $20$ есть множители: $2$ и $10$ .

$2 \cdot 10$

Этап 1.5.2

У $10$ есть множители: $2$ и $5$ .

$2 \cdot 2 \cdot 5$

Этап 1.6

Умножим $2 \cdot 2 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cdot 5$

Этап 1.6.2

Умножим $4$ на $5$ .

$20$

Этап 1.7

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 1.8

НОК $x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x$

Этап 1.9

Множителем $x + 1$ является само значение $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.10

НОК $x + 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x + 1$

Этап 1.11

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$20 x (x + 1)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} = \frac{1}{20}$ умножим на $20 x (x + 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} = \frac{1}{20}$ на $20 x (x + 1)$ .

$\frac{x}{x + 1} (20 x (x + 1)) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$20 \frac{x}{x + 1} (x (x + 1)) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.2

Объединим $20$ и $\frac{x}{x + 1}$ .

$\frac{20 x}{x + 1} (x (x + 1)) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.3

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $x (x + 1)$ .

$\frac{20 x}{x + 1} ((x + 1) x) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{20 x}{x + 1} ((x + 1) x) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$20 x \cdot x - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$20 (x^{1} x) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$20 (x^{1} x^{1}) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$20 x^{1 + 1} - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$20 x^{2} - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.8

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x - 1}{x}$ в числитель.

$20 x^{2} + \frac{- (x - 1)}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.8.2

Вынесем множитель $x$ из $20 x (x + 1)$ .

$20 x^{2} + \frac{- (x - 1)}{x} (x (20 (x + 1))) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.8.3

Сократим общий множитель.

$20 x^{2} + \frac{- (x - 1)}{x} (x (20 (x + 1))) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.8.4

Перепишем это выражение.

$20 x^{2} - (x - 1) (20 (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.9

Умножим $20$ на $- 1$ .

$20 x^{2} - 20 (x - 1) (x + 1) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.10

Применим свойство дистрибутивности.

$20 x^{2} + (- 20 x - 20 \cdot - 1) (x + 1) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.11

Умножим $- 20$ на $- 1$ .

$20 x^{2} + (- 20 x + 20) (x + 1) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.12

Развернем $(- 20 x + 20) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$20 x^{2} - 20 x (x + 1) + 20 (x + 1) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$20 x^{2} - 20 x \cdot x - 20 x \cdot 1 + 20 (x + 1) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$20 x^{2} - 20 x \cdot x - 20 x \cdot 1 + 20 x + 20 \cdot 1 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.13

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.13.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.13.1.1.1

Перенесем $x$ .

$20 x^{2} - 20 (x \cdot x) - 20 x \cdot 1 + 20 x + 20 \cdot 1 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.13.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$20 x^{2} - 20 x^{2} - 20 x \cdot 1 + 20 x + 20 \cdot 1 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.13.1.2

Умножим $- 20$ на $1$ .

$20 x^{2} - 20 x^{2} - 20 x + 20 x + 20 \cdot 1 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.13.1.3

Умножим $20$ на $1$ .

$20 x^{2} - 20 x^{2} - 20 x + 20 x + 20 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.13.2

Добавим $- 20 x$ и $20 x$ .

$20 x^{2} - 20 x^{2} + 0 + 20 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.13.3

Добавим $- 20 x^{2}$ и $0$ .

$20 x^{2} - 20 x^{2} + 20 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $20 x^{2}$ из $20 x^{2}$ .

$0 + 20 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Этап 2.2.2.2

Добавим $0$ и $20$ .

$20 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $20$ из $20 x (x + 1)$ .

$20 = \frac{1}{20} (20 (x (x + 1)))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$20 = \frac{1}{20} (20 (x (x + 1)))$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$20 = x (x + 1)$

Этап 2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$20 = x \cdot x + x \cdot 1$

Этап 2.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$20 = x^{2} + x \cdot 1$

Этап 2.3.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$20 = x^{2} + x$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} + x = 20$ .

$x^{2} + x = 20$

Этап 3.2

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + x - 20 = 0$

Этап 3.3

Разложим $x^{2} + x - 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 20$ , а сумма — $1$ .

$- 4, 5$

Этап 3.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 4) (x + 5) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 3.6

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 3.6.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x + 5) = 0$ верно.

$x = 4, - 5$