Алгебра Примеры

$x \geq \frac{2}{x + 1}$

Этап 1

Вычтем $\frac{2}{x + 1}$ из обеих частей неравенства.

$x - \frac{2}{x + 1} \geq 0$

Этап 2

Упростим $x - \frac{2}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x (x + 1)}{x + 1} - \frac{2}{x + 1} \geq 0$

Этап 2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x (x + 1) - 2}{x + 1} \geq 0$

Этап 2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - 2}{x + 1} \geq 0$

Этап 2.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 - 2}{x + 1} \geq 0$

Этап 2.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + x - 2}{x + 1} \geq 0$

Этап 2.3.4

Разложим $x^{2} + x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2$

Этап 2.3.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x + 1} \geq 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 4

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 6

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 1$

$x = - 2$

$x = - 1$

Этап 8

Объединим решения.

$x = 1, - 2, - 1$

Этап 9

Найдем область определения $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x + 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 1 = 0$

Этап 9.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$- 4 \geq \frac{2}{(- 4) + 1}$

Этап 11.1.3

Левая часть $- 4$ меньше правой части $- 0.\overline{6}$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 1.5$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $- 1.5$ в исходном неравенстве.

$- 1.5 \geq \frac{2}{(- 1.5) + 1}$

Этап 11.2.3

Левая часть $- 1.5$ больше правой части $- 4$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$0 \geq \frac{2}{(0) + 1}$

Этап 11.3.3

Левая часть $0$ меньше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.4

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 11.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$4 \geq \frac{2}{(4) + 1}$

Этап 11.4.3

Левая часть $4$ больше правой части $0.4$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 2 \leq x < - 1$ или $x \geq 1$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 2 \leq x < - 1 or x \geq 1$

Интервальное представление:

$[- 2, - 1) \cup [1, \infty)$

Этап 14