Алгебра Примеры

$\frac{x + 10}{2} - \frac{13}{x + 1} = \frac{11}{3}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2, x + 1, 3$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.5

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 1.6

НОК $2, 1, 3$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2 \cdot 3$

Этап 1.7

Умножим $2$ на $3$ .

$6$

Этап 1.8

Множителем $x + 1$ является само значение $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.9

НОК $x + 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x + 1$

Этап 1.10

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$6 (x + 1)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{x + 10}{2} - \frac{13}{x + 1} = \frac{11}{3}$ умножим на $6 (x + 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{x + 10}{2} - \frac{13}{x + 1} = \frac{11}{3}$ на $6 (x + 1)$ .

$\frac{x + 10}{2} (6 (x + 1)) - \frac{13}{x + 1} (6 (x + 1)) = \frac{11}{3} (6 (x + 1))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 \frac{x + 10}{2} (x + 1) - \frac{13}{x + 1} (6 (x + 1)) = \frac{11}{3} (6 (x + 1))$

Этап 2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 (3) \frac{x + 10}{2} (x + 1) - \frac{13}{x + 1} (6 (x + 1)) = \frac{11}{3} (6 (x + 1))$

Этап 2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 3 \frac{x + 10}{2} (x + 1) - \frac{13}{x + 1} (6 (x + 1)) = \frac{11}{3} (6 (x + 1))$

Этап 2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (x + 10) (x + 1) - \frac{13}{x + 1} (6 (x + 1)) = \frac{11}{3} (6 (x + 1))$

Этап 2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x + 3 \cdot 10) (x + 1) - \frac{13}{x + 1} (6 (x + 1)) = \frac{11}{3} (6 (x + 1))$

Этап 2.2.1.4

Умножим $3$ на $10$ .

$(3 x + 30) (x + 1) - \frac{13}{x + 1} (6 (x + 1)) = \frac{11}{3} (6 (x + 1))$

Этап 2.2.1.5

Развернем $(3 x + 30) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x (x + 1) + 30 (x + 1) - \frac{13}{x + 1} (6 (x + 1)) = \frac{11}{3} (6 (x + 1))$

Этап 2.2.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot 1 + 30 (x + 1) - \frac{13}{x + 1} (6 (x + 1)) = \frac{11}{3} (6 (x + 1))$

Этап 2.2.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot 1 + 30 x + 30 \cdot 1 - \frac{13}{x + 1} (6 (x + 1)) = \frac{11}{3} (6 (x + 1))$

Этап 2.2.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1.1.1

Перенесем $x$ .

$3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 1 + 30 x + 30 \cdot 1 - \frac{13}{x + 1} (6 (x + 1)) = \frac{11}{3} (6 (x + 1))$

Этап 2.2.1.6.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 30 x + 30 \cdot 1 - \frac{13}{x + 1} (6 (x + 1)) = \frac{11}{3} (6 (x + 1))$

Этап 2.2.1.6.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$3 x^{2} + 3 x + 30 x + 30 \cdot 1 - \frac{13}{x + 1} (6 (x + 1)) = \frac{11}{3} (6 (x + 1))$

Этап 2.2.1.6.1.3

Умножим $30$ на $1$ .

$3 x^{2} + 3 x + 30 x + 30 - \frac{13}{x + 1} (6 (x + 1)) = \frac{11}{3} (6 (x + 1))$

Этап 2.2.1.6.2

Добавим $3 x$ и $30 x$ .

$3 x^{2} + 33 x + 30 - \frac{13}{x + 1} (6 (x + 1)) = \frac{11}{3} (6 (x + 1))$

Этап 2.2.1.7

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{13}{x + 1}$ в числитель.

$3 x^{2} + 33 x + 30 + \frac{- 13}{x + 1} (6 (x + 1)) = \frac{11}{3} (6 (x + 1))$

Этап 2.2.1.7.2

Вынесем множитель $x + 1$ из $6 (x + 1)$ .

$3 x^{2} + 33 x + 30 + \frac{- 13}{x + 1} ((x + 1) \cdot 6) = \frac{11}{3} (6 (x + 1))$

Этап 2.2.1.7.3

Сократим общий множитель.

$3 x^{2} + 33 x + 30 + \frac{- 13}{x + 1} ((x + 1) \cdot 6) = \frac{11}{3} (6 (x + 1))$

Этап 2.2.1.7.4

Перепишем это выражение.

$3 x^{2} + 33 x + 30 - 13 \cdot 6 = \frac{11}{3} (6 (x + 1))$

Этап 2.2.1.8

Умножим $- 13$ на $6$ .

$3 x^{2} + 33 x + 30 - 78 = \frac{11}{3} (6 (x + 1))$

Этап 2.2.2

Вычтем $78$ из $30$ .

$3 x^{2} + 33 x - 48 = \frac{11}{3} (6 (x + 1))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6 (x + 1)$ .

$3 x^{2} + 33 x - 48 = \frac{11}{3} (3 (2 (x + 1)))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$3 x^{2} + 33 x - 48 = \frac{11}{3} (3 (2 (x + 1)))$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$3 x^{2} + 33 x - 48 = 11 (2 (x + 1))$

Этап 2.3.2

Умножим $2$ на $11$ .

$3 x^{2} + 33 x - 48 = 22 (x + 1)$

Этап 2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 33 x - 48 = 22 x + 22 \cdot 1$

Этап 2.3.4

Умножим $22$ на $1$ .

$3 x^{2} + 33 x - 48 = 22 x + 22$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $22 x$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} + 33 x - 48 - 22 x = 22$

Этап 3.1.2

Вычтем $22 x$ из $33 x$ .

$3 x^{2} + 11 x - 48 = 22$

Этап 3.2

Вычтем $22$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} + 11 x - 48 - 22 = 0$

Этап 3.3

Вычтем $22$ из $- 48$ .

$3 x^{2} + 11 x - 70 = 0$

Этап 3.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 70 = - 210$ , а сумма — $b = 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $11$ из $11 x$ .

$3 x^{2} + 11 (x) - 70 = 0$

Этап 3.4.1.2

Запишем $11$ как $- 10$ плюс $21$

$3 x^{2} + (- 10 + 21) x - 70 = 0$

Этап 3.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 10 x + 21 x - 70 = 0$

Этап 3.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} - 10 x) + 21 x - 70 = 0$

Этап 3.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (3 x - 10) + 7 (3 x - 10) = 0$

Этап 3.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 10$ .

$(3 x - 10) (x + 7) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 10 = 0$

$x + 7 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $3 x - 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $3 x - 10$ к $0$ .

$3 x - 10 = 0$

Этап 3.6.2

Решим $3 x - 10 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 10$

Этап 3.6.2.2

Разделим каждый член $3 x = 10$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 10$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Этап 3.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Этап 3.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{10}{3}$

Этап 3.7

Приравняем $x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x + 7$ к $0$ .

$x + 7 = 0$

Этап 3.7.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x - 10) (x + 7) = 0$ верно.

$x = \frac{10}{3}, - 7$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{10}{3}, - 7$

Десятичная форма:

$x = 3.\overline{3}, - 7$

Форма смешанных чисел:

$x = 3 \frac{1}{3}, - 7$