Алгебра Примеры

$\sin (x) \leq \frac{1}{2}$

Этап 1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x \leq \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$x \leq \frac{π}{6}$

Этап 3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{6}$

Этап 4

Упростим $π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 4.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$

$\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$

$\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале $\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 8.1.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\sin (2) \leq \frac{1}{2}$

Этап 8.1.3

Левая часть $0.90929742$ больше правой части $0.5$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 8.2

Проверим значение на интервале $\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 8.2.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$\sin (5) \leq \frac{1}{2}$

Этап 8.2.3

Левая часть $- 0.95892427$ меньше правой части $0.5$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 8.3

Проверим значение на интервале $\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале $\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 8.3.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\sin (8) \leq \frac{1}{2}$

Этап 8.3.3

Левая часть $0.98935824$ больше правой части $0.5$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ Ложь

$\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ Истина

$\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ Ложь

$\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ Ложь

$\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ Истина

$\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ Ложь

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{5 π}{6} + 2 π n \leq x \leq \frac{13 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10