Алгебра Примеры

$f (x) = \frac{7 - 2 x}{3 x}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{7 - 2 x}{3 x}$ в виде уравнения.

$y = \frac{7 - 2 x}{3 x}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{7 - 2 y}{3 y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{7 - 2 y}{3 y} = x$ .

$\frac{7 - 2 y}{3 y} = x$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$3 y, 1$

Этап 3.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$3 y$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{7 - 2 y}{3 y} = x$ умножим на $3 y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{7 - 2 y}{3 y} = x$ на $3 y$ .

$\frac{7 - 2 y}{3 y} (3 y) = x (3 y)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{7 - 2 y}{3 y} y = x (3 y)$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 y$ .

$3 \frac{7 - 2 y}{3 (y)} y = x (3 y)$

Этап 3.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$3 \frac{7 - 2 y}{3 y} y = x (3 y)$

Этап 3.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{7 - 2 y}{y} y = x (3 y)$

Этап 3.3.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 - 2 y}{y} y = x (3 y)$

Этап 3.3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$7 - 2 y = x (3 y)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$7 - 2 y = 3 x y$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $3 x y$ из обеих частей уравнения.

$7 - 2 y - 3 x y = 0$

Этап 3.4.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$- 2 y - 3 x y = - 7$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y - 3 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y$ .

$y \cdot - 2 - 3 x y = - 7$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- 3 x y$ .

$y \cdot - 2 + y (- 3 x) = - 7$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot - 2 + y (- 3 x)$ .

$y (- 2 - 3 x) = - 7$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $y (- 2 - 3 x) = - 7$ на $- 2 - 3 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $y (- 2 - 3 x) = - 7$ на $- 2 - 3 x$ .

$\frac{y (- 2 - 3 x)}{- 2 - 3 x} = \frac{- 7}{- 2 - 3 x}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $- 2 - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (- 2 - 3 x)}{- 2 - 3 x} = \frac{- 7}{- 2 - 3 x}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 7}{- 2 - 3 x}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{7}{- 2 - 3 x}$

Этап 3.4.4.3.2

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$y = - \frac{7}{- 1 (2) - 3 x}$

Этап 3.4.4.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x$ .

$y = - \frac{7}{- 1 (2) - (3 x)}$

Этап 3.4.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (2) - (3 x)$ .

$y = - \frac{7}{- 1 (2 + 3 x)}$

Этап 3.4.4.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.5.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - - \frac{7}{2 + 3 x}$

Этап 3.4.4.3.5.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = 1 \frac{7}{2 + 3 x}$

Этап 3.4.4.3.5.3

Умножим $\frac{7}{2 + 3 x}$ на $1$ .

$y = \frac{7}{2 + 3 x}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{7}{2 + 3 x}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{7}{2 + 3 x}$ обратной к $f (x) = \frac{7 - 2 x}{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{7 - 2 x}{3 x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{7 - 2 x}{3 x}) = \frac{7}{2 + 3 (\frac{7 - 2 x}{3 x})}$

Этап 5.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{7 - 2 x}{3 x}) = \frac{7}{2 + 3 (\frac{7 - 2 x}{3 (x)})}$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{7 - 2 x}{3 x}) = \frac{7}{2 + 3 (\frac{7 - 2 x}{3 x})}$

Этап 5.2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{7 - 2 x}{3 x}) = \frac{7}{2 + \frac{7 - 2 x}{x}}$

Этап 5.2.3.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{7 - 2 x}{3 x}) = \frac{7}{\frac{2 x}{x} + \frac{7 - 2 x}{x}}$

Этап 5.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{7 - 2 x}{3 x}) = \frac{7}{\frac{2 x + 7 - 2 x}{x}}$

Этап 5.2.3.4

Изменим порядок членов.

$f^{- 1} (\frac{7 - 2 x}{3 x}) = \frac{7}{\frac{2 x - 2 x + 7}{x}}$

Этап 5.2.3.5

Перепишем $\frac{2 x - 2 x + 7}{x}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.1

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{7 - 2 x}{3 x}) = \frac{7}{\frac{0 + 7}{x}}$

Этап 5.2.3.5.2

Добавим $0$ и $7$ .

$f^{- 1} (\frac{7 - 2 x}{3 x}) = \frac{7}{\frac{7}{x}}$

Этап 5.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{7 - 2 x}{3 x}) = 7 (\frac{x}{7})$

Этап 5.2.5

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{7 - 2 x}{3 x}) = 7 (\frac{x}{7})$

Этап 5.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{7 - 2 x}{3 x}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{7}{2 + 3 x})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{7 - 2 \frac{7}{2 + 3 x}}{3 (\frac{7}{2 + 3 x})}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $- 2 \frac{7}{2 + 3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Объединим $- 2$ и $\frac{7}{2 + 3 x}$ .

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{7 + \frac{- 2 \cdot 7}{2 + 3 x}}{3 (\frac{7}{2 + 3 x})}$

Этап 5.3.3.1.2

Умножим $- 2$ на $7$ .

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{7 + \frac{- 14}{2 + 3 x}}{3 (\frac{7}{2 + 3 x})}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{7 - \frac{14}{2 + 3 x}}{3 (\frac{7}{2 + 3 x})}$

Этап 5.3.3.3

Чтобы записать $7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 + 3 x}{2 + 3 x}$ .

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{7 (2 + 3 x)}{2 + 3 x} - \frac{14}{2 + 3 x}}{3 (\frac{7}{2 + 3 x})}$

Этап 5.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{7 (2 + 3 x) - 14}{2 + 3 x}}{3 (\frac{7}{2 + 3 x})}$

Этап 5.3.3.5

Изменим порядок членов.

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{7 (2 + 3 x) - 14}{3 x + 2}}{3 (\frac{7}{2 + 3 x})}$

Этап 5.3.3.6

Перепишем $\frac{7 (2 + 3 x) - 14}{3 x + 2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

Вынесем множитель $7$ из $7 (2 + 3 x) - 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1.1

Вынесем множитель $7$ из $- 14$ .

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{7 (2 + 3 x) + 7 \cdot - 2}{3 x + 2}}{3 (\frac{7}{2 + 3 x})}$

Этап 5.3.3.6.1.2

Вынесем множитель $7$ из $7 (2 + 3 x) + 7 \cdot - 2$ .

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{7 (2 + 3 x - 2)}{3 x + 2}}{3 (\frac{7}{2 + 3 x})}$

Этап 5.3.3.6.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{7 (3 x + 0)}{3 x + 2}}{3 (\frac{7}{2 + 3 x})}$

Этап 5.3.3.6.3

Добавим $3 x$ и $0$ .

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{7 \cdot (3 x)}{3 x + 2}}{3 (\frac{7}{2 + 3 x})}$

Этап 5.3.3.6.4

Умножим $7$ на $3$ .

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{21 x}{3 x + 2}}{3 (\frac{7}{2 + 3 x})}$

Этап 5.3.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Объединим $3$ и $\frac{7}{2 + 3 x}$ .

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{21 x}{3 x + 2}}{\frac{3 \cdot 7}{2 + 3 x}}$

Этап 5.3.4.2

Умножим $3$ на $7$ .

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{21 x}{3 x + 2}}{\frac{21}{2 + 3 x}}$

Этап 5.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{21 x}{3 x + 2} \cdot \frac{2 + 3 x}{21}$

Этап 5.3.6

Сократим общий множитель $21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Вынесем множитель $21$ из $21 x$ .

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{21 (x)}{3 x + 2} \cdot \frac{2 + 3 x}{21}$

Этап 5.3.6.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{21 x}{3 x + 2} \cdot \frac{2 + 3 x}{21}$

Этап 5.3.6.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{x}{3 x + 2} \cdot (2 + 3 x)$

Этап 5.3.7

Умножим $\frac{x}{3 x + 2}$ на $2 + 3 x$ .

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{x (2 + 3 x)}{3 x + 2}$

Этап 5.3.8

Сократим общий множитель $2 + 3 x$ и $3 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Изменим порядок членов.

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{x (3 x + 2)}{3 x + 2}$

Этап 5.3.8.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{x (3 x + 2)}{3 x + 2}$

Этап 5.3.8.3

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{7}{2 + 3 x}$ — обратная к $f (x) = \frac{7 - 2 x}{3 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7}{2 + 3 x}$