Алгебра Примеры

$1 + \frac{3}{3 - x} = \frac{x + 3}{x^{2} - 9}$

Этап 1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\frac{3}{3 - x} = \frac{x + 3}{x^{2} - 9} - 1$

Этап 1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{3}{3 - x} = \frac{x + 3}{x^{2} - 3^{2}} - 1$

Этап 1.2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$\frac{3}{3 - x} = \frac{x + 3}{(x + 3) (x - 3)} - 1$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{3 - x} = \frac{x + 3}{(x + 3) (x - 3)} - 1$

Этап 1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{3 - x} = \frac{1}{x - 3} - 1$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$3 - x, x - 3, 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $3 - x$ является само значение $3 - x$ .

$(3 - x) = 3 - x$

$(3 - x)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x - 3$ является само значение $x - 3$ .

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $3 - x, x - 3$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(3 - x) (x - 3)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{3}{3 - x} = \frac{1}{x - 3} - 1$ умножим на $(3 - x) (x - 3)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{3}{3 - x} = \frac{1}{x - 3} - 1$ на $(3 - x) (x - 3)$ .

$\frac{3}{3 - x} ((3 - x) (x - 3)) = \frac{1}{x - 3} ((3 - x) (x - 3)) - ((3 - x) (x - 3))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $3 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{3 - x} ((3 - x) (x - 3)) = \frac{1}{x - 3} ((3 - x) (x - 3)) - ((3 - x) (x - 3))$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$3 (x - 3) = \frac{1}{x - 3} ((3 - x) (x - 3)) - ((3 - x) (x - 3))$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 3 \cdot - 3 = \frac{1}{x - 3} ((3 - x) (x - 3)) - ((3 - x) (x - 3))$

Этап 3.2.3

Умножим $3$ на $- 3$ .

$3 x - 9 = \frac{1}{x - 3} ((3 - x) (x - 3)) - ((3 - x) (x - 3))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Вынесем множитель $x - 3$ из $(3 - x) (x - 3)$ .

$3 x - 9 = \frac{1}{x - 3} ((x - 3) (3 - x)) - ((3 - x) (x - 3))$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$3 x - 9 = \frac{1}{x - 3} ((x - 3) (3 - x)) - ((3 - x) (x - 3))$

Этап 3.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$3 x - 9 = 3 - x - ((3 - x) (x - 3))$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(3 - x) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x - 9 = 3 - x - (3 (x - 3) - x (x - 3))$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x - 9 = 3 - x - (3 x + 3 \cdot - 3 - x (x - 3))$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x - 9 = 3 - x - (3 x + 3 \cdot - 3 - x \cdot x - x \cdot - 3)$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $3$ на $- 3$ .

$3 x - 9 = 3 - x - (3 x - 9 - x \cdot x - x \cdot - 3)$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$3 x - 9 = 3 - x - (3 x - 9 - (x \cdot x) - x \cdot - 3)$

Этап 3.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x - 9 = 3 - x - (3 x - 9 - x^{2} - x \cdot - 3)$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$3 x - 9 = 3 - x - (3 x - 9 - x^{2} + 3 x)$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $3 x$ и $3 x$ .

$3 x - 9 = 3 - x - (6 x - 9 - x^{2})$

Этап 3.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x - 9 = 3 - x - (6 x) - - 9 - - x^{2}$

Этап 3.3.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Умножим $6$ на $- 1$ .

$3 x - 9 = 3 - x - 6 x - - 9 - - x^{2}$

Этап 3.3.1.5.2

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$3 x - 9 = 3 - x - 6 x + 9 - - x^{2}$

Этап 3.3.1.5.3

Умножим $- - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 x - 9 = 3 - x - 6 x + 9 + 1 x^{2}$

Этап 3.3.1.5.3.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$3 x - 9 = 3 - x - 6 x + 9 + x^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $3$ и $9$ .

$3 x - 9 = - x - 6 x + 12 + x^{2}$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $6 x$ из $- x$ .

$3 x - 9 = - 7 x + 12 + x^{2}$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$- 7 x + 12 + x^{2} = 3 x - 9$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

$- 7 x + 12 + x^{2} - 3 x = - 9$

Этап 4.2.2

Вычтем $3 x$ из $- 7 x$ .

$- 10 x + 12 + x^{2} = - 9$

Этап 4.3

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$- 10 x + 12 + x^{2} + 9 = 0$

Этап 4.4

Добавим $12$ и $9$ .

$- 10 x + x^{2} + 21 = 0$

Этап 4.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$- 10 u + u^{2} + 21 = 0$

Этап 4.5.2

Разложим $- 10 u + u^{2} + 21$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $21$ , а сумма — $- 10$ .

$- 7, - 3$

Этап 4.5.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 7) (u - 3) = 0$

Этап 4.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x - 7) (x - 3) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 4.7.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 4.8

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.8.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 7) (x - 3) = 0$ верно.

$x = 7, 3$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $1 + \frac{3}{3 - x} = \frac{x + 3}{x^{2} - 9}$ истинным.

$x = 7$