Алгебра Примеры

$\cos (\frac{11 π}{12}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Точное значение $\cos (\frac{11 π}{12})$ : $- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- \cos (\frac{π}{12}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.1.2

Разделим $\frac{π}{12}$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$- \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.1.3

Применим формулу для разности углов $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$- (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.1.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.1.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.1.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.1.8

Упростим $- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.1.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.1.8.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.1.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.1.8.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.1.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.1.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.3

Умножим $- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$- \frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2 \cdot 4} + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$- \frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8} + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{\sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{3} \sqrt{2}}{8} + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- \frac{\sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} \sqrt{2}}{8} + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.6

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- \frac{\sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3 \cdot 2}}{8} + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Умножим $3$ на $6$ .

$- \frac{\sqrt{18} + \sqrt{3 \cdot 2}}{8} + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.7.2

Перепишем $18$ в виде $3^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$- \frac{\sqrt{9 (2)} + \sqrt{3 \cdot 2}}{8} + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.7.2.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{3 \cdot 2}}{8} + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.7.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$- \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{3 \cdot 2}}{8} + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.7.4

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.8

Точное значение $\sin (\frac{11 π}{12})$ : $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.8.2

Разделим $\frac{π}{12}$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$- \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.8.3

Применим формулу для разности углов.

$- \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.8.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.8.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.8.6

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.8.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.8.8

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.8.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.8.8.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$- \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.8.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.8.8.1.2

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.8.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.8.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.8.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.9

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 1.10

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 1.10.2

Умножим $4$ на $2$ .

$- \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}$

Этап 2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- (3 \sqrt{2} + \sqrt{6}) + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- (3 \sqrt{2}) - \sqrt{6} + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}$

Этап 3.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{- 3 \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $\sqrt{2}$ из $- 3 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{6}}{8}$

Этап 4.2

Добавим $- \sqrt{6}$ и $\sqrt{6}$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 0}{8}$

Этап 4.3

Добавим $- 4 \sqrt{2}$ и $0$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2}}{8}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $- 4$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 (- \sqrt{2})}{8}$

Этап 4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{4 (- \sqrt{2})}{4 (2)}$

Этап 4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (- \sqrt{2})}{4 \cdot 2}$

Этап 4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Десятичная форма:

$- 0.70710678 \dots$