Алгебра Примеры

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2}$

Этап 1

Приравняем $x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2}$ к $0$ .

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{5}$ .

$x^{2} x^{3} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} = 0$

Этап 2.1.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 3 x^{4}$ .

$x^{2} x^{3} + x^{2} (- 3 x^{2}) + 3 x^{3} - x^{2} = 0$

Этап 2.1.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{3}$ .

$x^{2} x^{3} + x^{2} (- 3 x^{2}) + x^{2} (3 x) - x^{2} = 0$

Этап 2.1.1.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{3} + x^{2} (- 3 x^{2}) + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1 = 0$

Этап 2.1.1.5

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{3} + x^{2} (- 3 x^{2})$ .

$x^{2} (x^{3} - 3 x^{2}) + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1 = 0$

Этап 2.1.1.6

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (x^{3} - 3 x^{2}) + x^{2} (3 x)$ .

$x^{2} (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + x^{2} \cdot - 1 = 0$

Этап 2.1.1.7

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) = 0$

Этап 2.1.2

Разложим $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1$

Этап 2.1.2.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Этап 2.1.2.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$1 - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Этап 2.1.2.3.3

Возведем $1$ в степень $2$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 1$

Этап 2.1.2.3.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$1 - 3 + 3 \cdot 1 - 1$

Этап 2.1.2.3.5

Вычтем $3$ из $1$ .

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

Этап 2.1.2.3.6

Умножим $3$ на $1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Этап 2.1.2.3.7

Добавим $- 2$ и $3$ .

$1 - 1$

Этап 2.1.2.3.8

Вычтем $1$ из $1$ .

$0$

Этап 2.1.2.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{x - 1}$

Этап 2.1.2.5

Разделим $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

Этап 2.1.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$

Этап 2.1.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 2.1.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 2.1.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Этап 2.1.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 2.1.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 2.1.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Этап 2.1.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{2} + 2 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Этап 2.1.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$

Этап 2.1.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

Этап 2.1.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

Этап 2.1.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

Этап 2.1.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x - 1$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

Этап 2.1.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

Этап 2.1.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 2 x + 1$

Этап 2.1.2.6

Запишем $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ в виде набора множителей.

$x^{2} ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1)) = 0$

Этап 2.1.3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x^{2} ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1^{2})) = 0$

Этап 2.1.3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 2.1.3.3

Перепишем многочлен.

$x^{2} ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Этап 2.1.3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$x^{2} ((x - 1) {(x - 1)}^{2}) = 0$

Этап 2.1.4

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$x^{2} ((x - 1) {(x - 1)}^{2}) = 0$

Этап 2.1.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} {(x - 1)}^{1 + 2} = 0$

Этап 2.1.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{2} {(x - 1)}^{3} = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x - 1)}^{3} = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 2.3.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.3.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.3.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4

Приравняем ${(x - 1)}^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем ${(x - 1)}^{3}$ к $0$ .

${(x - 1)}^{3} = 0$

Этап 2.4.2

Решим ${(x - 1)}^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.4.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} {(x - 1)}^{3} = 0$ верно.

$x = 0, 1$

Этап 3