Алгебра Примеры

$\frac{3}{x + 2} - \frac{x}{x + 4} = 0$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 2, x + 4, 1$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $x + 2$ является само значение $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $x + 4$ является само значение $x + 4$ .

$(x + 4) = x + 4$

$(x + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

НОК $x + 2, x + 4$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 2) (x + 4)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{3}{x + 2} - \frac{x}{x + 4} = 0$ умножим на $(x + 2) (x + 4)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{3}{x + 2} - \frac{x}{x + 4} = 0$ на $(x + 2) (x + 4)$ .

$\frac{3}{x + 2} ((x + 2) (x + 4)) - \frac{x}{x + 4} ((x + 2) (x + 4)) = 0 ((x + 2) (x + 4))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{x + 2} ((x + 2) (x + 4)) - \frac{x}{x + 4} ((x + 2) (x + 4)) = 0 ((x + 2) (x + 4))$

Этап 2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$3 (x + 4) - \frac{x}{x + 4} ((x + 2) (x + 4)) = 0 ((x + 2) (x + 4))$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 3 \cdot 4 - \frac{x}{x + 4} ((x + 2) (x + 4)) = 0 ((x + 2) (x + 4))$

Этап 2.2.1.3

Умножим $3$ на $4$ .

$3 x + 12 - \frac{x}{x + 4} ((x + 2) (x + 4)) = 0 ((x + 2) (x + 4))$

Этап 2.2.1.4

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{x + 4}$ в числитель.

$3 x + 12 + \frac{- x}{x + 4} ((x + 2) (x + 4)) = 0 ((x + 2) (x + 4))$

Этап 2.2.1.4.2

Вынесем множитель $x + 4$ из $(x + 2) (x + 4)$ .

$3 x + 12 + \frac{- x}{x + 4} ((x + 4) (x + 2)) = 0 ((x + 2) (x + 4))$

Этап 2.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$3 x + 12 + \frac{- x}{x + 4} ((x + 4) (x + 2)) = 0 ((x + 2) (x + 4))$

Этап 2.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$3 x + 12 - x (x + 2) = 0 ((x + 2) (x + 4))$

Этап 2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 12 - x \cdot x - x \cdot 2 = 0 ((x + 2) (x + 4))$

Этап 2.2.1.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1

Перенесем $x$ .

$3 x + 12 - (x \cdot x) - x \cdot 2 = 0 ((x + 2) (x + 4))$

Этап 2.2.1.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x + 12 - x^{2} - x \cdot 2 = 0 ((x + 2) (x + 4))$

Этап 2.2.1.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 x + 12 - x^{2} - 2 x = 0 ((x + 2) (x + 4))$

Этап 2.2.2

Вычтем $2 x$ из $3 x$ .

$x + 12 - x^{2} = 0 ((x + 2) (x + 4))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем $(x + 2) (x + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 12 - x^{2} = 0 (x (x + 4) + 2 (x + 4))$

Этап 2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 12 - x^{2} = 0 (x \cdot x + x \cdot 4 + 2 (x + 4))$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 12 - x^{2} = 0 (x \cdot x + x \cdot 4 + 2 x + 2 \cdot 4)$

Этап 2.3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x + 12 - x^{2} = 0 (x^{2} + x \cdot 4 + 2 x + 2 \cdot 4)$

Этап 2.3.2.1.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$x + 12 - x^{2} = 0 (x^{2} + 4 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 4)$

Этап 2.3.2.1.3

Умножим $2$ на $4$ .

$x + 12 - x^{2} = 0 (x^{2} + 4 x + 2 x + 8)$

Этап 2.3.2.2

Добавим $4 x$ и $2 x$ .

$x + 12 - x^{2} = 0 (x^{2} + 6 x + 8)$

Этап 2.3.3

Умножим $0$ на $x^{2} + 6 x + 8$ .

$x + 12 - x^{2} = 0$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $x + 12 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1.1

Перенесем $12$ .

$x - x^{2} + 12 = 0$

Этап 3.1.1.1.2

Изменим порядок $x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x + 12 = 0$

Этап 3.1.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + x + 12 = 0$

Этап 3.1.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 12 = 0$

Этап 3.1.1.4

Перепишем $12$ в виде $- 1 (- 12)$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Этап 3.1.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Этап 3.1.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - x) - 1 (- 12)$ .

$- (x^{2} - x - 12) = 0$

Этап 3.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разложим $x^{2} - x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $- 1$ .

$- 4, 3$

Этап 3.1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Этап 3.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 4) (x + 3) = 0$

Этап 3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 3.3

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 3.3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 3.4

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 3.4.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 4) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 4, - 3$