Алгебра Примеры

${(x + 3)}^{\frac{2}{5}} - 7 {(x + 3)}^{\frac{1}{5}} + 12 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(x + 3)}^{\frac{2}{5}}$ в виде ${({(x + 3)}^{\frac{1}{5}})}^{2}$ .

${({(x + 3)}^{\frac{1}{5}})}^{2} - 7 {(x + 3)}^{\frac{1}{5}} + 12 = 0$

Этап 1.2

Пусть $u = {(x + 3)}^{\frac{1}{5}}$ . Подставим $u$ вместо ${(x + 3)}^{\frac{1}{5}}$ для всех.

$u^{2} - 7 u + 12 = 0$

Этап 1.3

Разложим $u^{2} - 7 u + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $- 7$ .

$- 4, - 3$

Этап 1.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 4) (u - 3) = 0$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $u$ на ${(x + 3)}^{\frac{1}{5}}$ .

$({(x + 3)}^{\frac{1}{5}} - 4) ({(x + 3)}^{\frac{1}{5}} - 3) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x + 3)}^{\frac{1}{5}} - 4 = 0$

${(x + 3)}^{\frac{1}{5}} - 3 = 0$

Этап 3

Приравняем ${(x + 3)}^{\frac{1}{5}} - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем ${(x + 3)}^{\frac{1}{5}} - 4$ к $0$ .

${(x + 3)}^{\frac{1}{5}} - 4 = 0$

Этап 3.2

Решим ${(x + 3)}^{\frac{1}{5}} - 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

${(x + 3)}^{\frac{1}{5}} = 4$

Этап 3.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $5$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(x + 3)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = 4^{5}$

Этап 3.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Упростим ${({(x + 3)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 3)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 3)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 4^{5}$

Этап 3.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 3)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 4^{5}$

Этап 3.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 3)}^{1} = 4^{5}$

Этап 3.2.3.1.1.2

Упростим.

$x + 3 = 4^{5}$

Этап 3.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Возведем $4$ в степень $5$ .

$x + 3 = 1024$

Этап 3.2.4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = 1024 - 3$

Этап 3.2.4.2

Вычтем $3$ из $1024$ .

$x = 1021$

Этап 4

Приравняем ${(x + 3)}^{\frac{1}{5}} - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем ${(x + 3)}^{\frac{1}{5}} - 3$ к $0$ .

${(x + 3)}^{\frac{1}{5}} - 3 = 0$

Этап 4.2

Решим ${(x + 3)}^{\frac{1}{5}} - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

${(x + 3)}^{\frac{1}{5}} = 3$

Этап 4.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $5$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(x + 3)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = 3^{5}$

Этап 4.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Упростим ${({(x + 3)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 3)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 3)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 3^{5}$

Этап 4.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 3)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 3^{5}$

Этап 4.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 3)}^{1} = 3^{5}$

Этап 4.2.3.1.1.2

Упростим.

$x + 3 = 3^{5}$

Этап 4.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Возведем $3$ в степень $5$ .

$x + 3 = 243$

Этап 4.2.4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = 243 - 3$

Этап 4.2.4.2

Вычтем $3$ из $243$ .

$x = 240$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $({(x + 3)}^{\frac{1}{5}} - 4) ({(x + 3)}^{\frac{1}{5}} - 3) = 0$ верно.

$x = 1021, 240$