Алгебра Примеры

$y = - 2 \sqrt{x}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = - 2 \sqrt{y}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 \sqrt{y} = x$ .

$- 2 \sqrt{y} = x$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- 2 \sqrt{y} = x$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- 2 \sqrt{y} = x$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{y}}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \sqrt{y}}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $\sqrt{y}$ на $1$ .

$\sqrt{y} = \frac{x}{- 2}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sqrt{y} = - \frac{x}{2}$

Этап 2.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{y}}^{2} = {(- \frac{x}{2})}^{2}$

Этап 2.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{x}{2})}^{2}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{x}{2})}^{2}$

Этап 2.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{x}{2})}^{2}$

Этап 2.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(- \frac{x}{2})}^{2}$

Этап 2.4.2.1.2

Упростим.

$y = {(- \frac{x}{2})}^{2}$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Упростим ${(- \frac{x}{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{x}{2}$ .

$y = {(- 1)}^{2} {(\frac{x}{2})}^{2}$

Этап 2.4.3.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{x}{2}$ .

$y = {(- 1)}^{2} \frac{x^{2}}{2^{2}}$

Этап 2.4.3.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = 1 \frac{x^{2}}{2^{2}}$

Этап 2.4.3.1.3

Умножим $\frac{x^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2^{2}}$

Этап 2.4.3.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{4}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4}$ обратной к $f (x) = - 2 \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (- 2 \sqrt{x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = \frac{{(- 2 \sqrt{x})}^{2}}{4}$

Этап 4.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Применим правило умножения к $- 2 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = \frac{{(- 2)}^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{4}$

Этап 4.2.3.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = \frac{4 {\sqrt{x}}^{2}}{4}$

Этап 4.2.3.3

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Этап 4.2.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = \frac{4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Этап 4.2.3.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = \frac{4 x^{\frac{2}{2}}}{4}$

Этап 4.2.3.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = \frac{4 x^{\frac{2}{2}}}{4}$

Этап 4.2.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = \frac{4 x}{4}$

Этап 4.2.3.3.5

Упростим.

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = \frac{4 x}{4}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = \frac{4 x}{4}$

Этап 4.2.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{x^{2}}{4})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{4}) = - 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4}}$

Этап 4.3.3

Избавимся от скобок.

$f (\frac{x^{2}}{4}) = - 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4}}$

Этап 4.3.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4}) = - 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Этап 4.3.5

Перепишем $\frac{x^{2}}{2^{2}}$ в виде ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4}) = - 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2}}$

Этап 4.3.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{x^{2}}{4}) = - 2 \frac{x}{2}$

Этап 4.3.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (\frac{x^{2}}{4}) = 2 (- 1) (\frac{x}{2})$

Этап 4.3.7.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{2}}{4}) = 2 \cdot (- 1 \frac{x}{2})$

Этап 4.3.7.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{2}}{4}) = - 1 x$

Этап 4.3.8

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f (\frac{x^{2}}{4}) = - x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4}$ — обратная к $f (x) = - 2 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4}$