Алгебра Примеры

$\frac{(x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x^{2} - 2 x y + y^{2})}{2 (x + y)} = 0$

Этап 1

Приравняем числитель к нулю.

$(x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x^{2} - 2 x y + y^{2}) = 0$

Этап 2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} + 2 x y + y^{2} = 0$

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = 0$

Этап 2.2

Приравняем $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Приравняем $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ к $0$ .

$x^{2} + 2 x y + y^{2} = 0$

Этап 2.2.2

Решим $x^{2} + 2 x y + y^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.2.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 2 y$ и $c = y^{2}$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 y \pm \sqrt{{(2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot y^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1.1

Перепишем $4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ в виде ${(2 \cdot 1 y)}^{2}$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{{(2 y)}^{2} - {(2 \cdot (1 y))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.2.3.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 y$ и $b = 2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{(2 y + 2 \cdot (1 y)) (2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.2.3.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1.3.1

Вынесем множитель $2 y$ из $2 y + 2 \cdot 1 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1.3.1.1

Вынесем множитель $2 y$ из $2 y$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{(2 y (1) + 2 \cdot (1 y)) (2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.2.3.1.3.1.2

Вынесем множитель $2 y$ из $2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{(2 y (1) + 2 y (1)) (2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.2.3.1.3.1.3

Вынесем множитель $2 y$ из $2 y (1) + 2 y (1)$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{2 y (1 + 1) (2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.2.3.1.3.2

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{2 y \cdot (2 (2 y - (2 \cdot (1 y))))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.2.3.1.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 y (2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.2.3.1.3.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1.3.4.1

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 y (2 y - (2 y))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.2.3.1.3.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 y (2 y - 2 y)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.2.3.1.4

Вычтем $2 y$ из $2 y$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 y \cdot 0}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.2.3.1.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1.5.1

Умножим $0$ на $4$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{0 y}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.2.3.1.5.2

Умножим $0$ на $y$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.2.3.1.6

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.2.3.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{- 2 y \pm 0}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.2.3.1.8

$- 2 y$ плюс или минус $0$ равно $- 2 y$ .

$x = \frac{- 2 y}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 y}{2}$

Этап 2.2.2.3.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y$ .

$x = \frac{2 (- y)}{2}$

Этап 2.2.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x = \frac{2 (- y)}{2 (1)}$

Этап 2.2.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 (- y)}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- y}{1}$

Этап 2.2.2.3.3.2.4

Разделим $- y$ на $1$ .

$x = - y$

Этап 2.2.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

Двойные корни $x = - y$

Этап 2.3

Приравняем $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ к $0$ .

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = 0$

Этап 2.3.2

Решим $x^{2} - 2 x y + y^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.3.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2 y$ и $c = y^{2}$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot y^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1.1

Перепишем $4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ в виде ${(2 \cdot 1 y)}^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - {(2 \cdot (1 y))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.3.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = - 2 y$ и $b = 2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(- 2 y + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.3.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1.3.1

Вынесем множитель $2 y$ из $- 2 y + 2 \cdot 1 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1.3.1.1

Вынесем множитель $2 y$ из $- 2 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.3.1.3.1.2

Вынесем множитель $2 y$ из $2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 y (1)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.3.1.3.1.3

Вынесем множитель $2 y$ из $2 y (- 1) + 2 y (1)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y (- 1 + 1) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.3.1.3.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y \cdot (0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y))))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.3.1.3.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1.3.3.1

Умножим $0$ на $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.3.1.3.3.2

Умножим $0$ на $y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.3.1.3.4

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y - 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1.3.4.1

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 - 1 \cdot 2 \cdot (1 y))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.3.1.3.4.2

Вынесем множитель $y$ из $- 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.3.1.3.4.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.3.1.3.5

Умножим $- 1 \cdot 2 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1.3.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.3.1.3.5.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.3.1.3.6

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.3.1.3.7

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1.3.7.1

Умножим $0$ на $y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.3.1.3.7.2

Умножим $0$ на $- 4$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.3.1.4

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{2 y \pm 0}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.3.1.6

$2 y$ плюс или минус $0$ равно $2 y$ .

$x = \frac{2 y}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 y}{2}$

Этап 2.3.2.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.3.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 y}{2}$

Этап 2.3.2.3.3.2

Разделим $y$ на $1$ .

$x = y$

Этап 2.3.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

Двойные корни $x = y$

Этап 2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x^{2} - 2 x y + y^{2}) = 0$ верно.

$x = - y$

$x = y$

$x = - y$

$x = y$