Алгебра Примеры

$1 - \frac{3}{x} = \frac{6}{x^{2} + 2 x}$

Этап 1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{3}{x} = \frac{6}{x^{2} + 2 x} - 1$

Этап 1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$- \frac{3}{x} = \frac{6}{x \cdot x + 2 x} - 1$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$- \frac{3}{x} = \frac{6}{x \cdot x + x \cdot 2} - 1$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$- \frac{3}{x} = \frac{6}{x (x + 2)} - 1$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, x (x + 2), 1$

Этап 2.2

Поскольку $x, x (x + 2), 1$ содержит как числа, так и переменные, для нахождения наименьшего общего кратного требуется четыре этапа. Найдем наименьшее общее кратное для числовой, переменной и составной переменной частей. Затем перемножим их.

Этапы поиска НОК для $x, x (x + 2), 1$ :

1. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1$ .

2. Найдем НОК для переменной части $x^{1}, x^{1}$ .

3. Найдем НОК для составной переменной части $x + 2$ .

4. Перемножим все НОК.

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.6

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $x^{1}, x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x$

Этап 2.8

Множителем $x + 2$ является само значение $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $x + 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x + 2$

Этап 2.10

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$x (x + 2)$

Этап 3

Каждый член в $- \frac{3}{x} = \frac{6}{x (x + 2)} - 1$ умножим на $x (x + 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $- \frac{3}{x} = \frac{6}{x (x + 2)} - 1$ на $x (x + 2)$ .

$- \frac{3}{x} (x (x + 2)) = \frac{6}{x (x + 2)} (x (x + 2)) - (x (x + 2))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{x}$ в числитель.

$\frac{- 3}{x} (x (x + 2)) = \frac{6}{x (x + 2)} (x (x + 2)) - (x (x + 2))$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3}{x} (x (x + 2)) = \frac{6}{x (x + 2)} (x (x + 2)) - (x (x + 2))$

Этап 3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 3 (x + 2) = \frac{6}{x (x + 2)} (x (x + 2)) - (x (x + 2))$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 x - 3 \cdot 2 = \frac{6}{x (x + 2)} (x (x + 2)) - (x (x + 2))$

Этап 3.2.3

Умножим $- 3$ на $2$ .

$- 3 x - 6 = \frac{6}{x (x + 2)} (x (x + 2)) - (x (x + 2))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $x (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$- 3 x - 6 = \frac{6}{x (x + 2)} (x (x + 2)) - (x (x + 2))$

Этап 3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$- 3 x - 6 = 6 - (x (x + 2))$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 x - 6 = 6 - (x \cdot x + x \cdot 2)$

Этап 3.3.1.3

Умножим $x$ на $x$ .

$- 3 x - 6 = 6 - (x^{2} + x \cdot 2)$

Этап 3.3.1.4

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$- 3 x - 6 = 6 - (x^{2} + 2 \cdot x)$

Этап 3.3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 x - 6 = 6 - x^{2} - (2 x)$

Этап 3.3.1.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 3 x - 6 = 6 - x^{2} - 2 x$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$6 - x^{2} - 2 x = - 3 x - 6$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $3 x$ к обеим частям уравнения.

$6 - x^{2} - 2 x + 3 x = - 6$

Этап 4.2.2

Добавим $- 2 x$ и $3 x$ .

$6 - x^{2} + x = - 6$

Этап 4.3

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$6 - x^{2} + x + 6 = 0$

Этап 4.4

Добавим $6$ и $6$ .

$- x^{2} + x + 12 = 0$

Этап 4.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} + x + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + x + 12 = 0$

Этап 4.5.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 12 = 0$

Этап 4.5.1.3

Перепишем $12$ в виде $- 1 (- 12)$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Этап 4.5.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Этап 4.5.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - x) - 1 (- 12)$ .

$- (x^{2} - x - 12) = 0$

Этап 4.5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Разложим $x^{2} - x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $- 1$ .

$- 4, 3$

Этап 4.5.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Этап 4.5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 4) (x + 3) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 4.7.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 4.8

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 4.8.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 4) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 4, - 3$