Алгебра Примеры

$\frac{5 x + 1}{x - 4} \leq 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$5 x + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$5 x = - 1$

Этап 3

Разделим каждый член $5 x = - 1$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $5 x = - 1$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 1}{5}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 1}{5}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{5}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{5}$

Этап 4

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 5

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - \frac{1}{5}$

$x = 4$

Этап 6

Объединим решения.

$x = - \frac{1}{5}, 4$

Этап 7

Найдем область определения $\frac{5 x + 1}{x - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим знаменатель в $\frac{5 x + 1}{x - 4}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 4 = 0$

Этап 7.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 7.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{1}{5}$

$- \frac{1}{5} < x < 4$

$x > 4$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{1}{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{1}{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$\frac{5 (- 3) + 1}{(- 3) - 4} \leq 0$

Этап 9.1.3

Левая часть $2$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $- \frac{1}{5} < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{1}{5} < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{5 (0) + 1}{(0) - 4} \leq 0$

Этап 9.2.3

Левая часть $- 0.25$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{5 (6) + 1}{(6) - 4} \leq 0$

Этап 9.3.3

Левая часть $15.5$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{1}{5}$ Ложь

$- \frac{1}{5} < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < - \frac{1}{5}$ Ложь

$- \frac{1}{5} < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \frac{1}{5} \leq x < 4$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- \frac{1}{5} \leq x < 4$

Интервальное представление:

$[- \frac{1}{5}, 4)$

Этап 12