Алгебра Примеры

$\frac{1}{x} + \frac{1}{3} < \frac{1}{5}$

Этап 1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $\frac{1}{3}$ из обеих частей неравенства.

$\frac{1}{x} < \frac{1}{5} - \frac{1}{3}$

Этап 1.2

Чтобы записать $\frac{1}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x} < \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 1.3

Чтобы записать $- \frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{x} < \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 1.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x} < \frac{3}{5 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 1.4.2

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{1}{x} < \frac{3}{15} - \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 1.4.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{x} < \frac{3}{15} - \frac{5}{3 \cdot 5}$

Этап 1.4.4

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{1}{x} < \frac{3}{15} - \frac{5}{15}$

Этап 1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{x} < \frac{3 - 5}{15}$

Этап 1.6

Вычтем $5$ из $3$ .

$\frac{1}{x} < \frac{- 2}{15}$

Этап 1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{x} < - \frac{2}{15}$

Этап 2

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{1}{x} x = - \frac{2}{15} x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x} x = - \frac{2}{15} x$

Этап 3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = - \frac{2}{15} x$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $- \frac{2}{15} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Объединим $x$ и $\frac{2}{15}$ .

$1 = - \frac{x \cdot 2}{15}$

Этап 3.2.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$1 = - \frac{2 x}{15}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{2 x}{15} = 1$ .

$- \frac{2 x}{15} = 1$

Этап 4.2

Умножим обе части уравнения на $- \frac{15}{2}$ .

$- \frac{15}{2} (- \frac{2 x}{15}) = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Этап 4.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Упростим $- \frac{15}{2} (- \frac{2 x}{15})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Сократим общий множитель $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{15}{2}$ в числитель.

$\frac{- 15}{2} (- \frac{2 x}{15}) = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Этап 4.3.1.1.1.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 x}{15}$ в числитель.

$\frac{- 15}{2} \cdot \frac{- 2 x}{15} = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Этап 4.3.1.1.1.3

Вынесем множитель $15$ из $- 15$ .

$\frac{15 (- 1)}{2} \cdot \frac{- 2 x}{15} = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Этап 4.3.1.1.1.4

Сократим общий множитель.

$\frac{15 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{- 2 x}{15} = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Этап 4.3.1.1.1.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{2} (- 2 x) = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Этап 4.3.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{- 1}{2} (2 (- x)) = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Этап 4.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{2} (2 (- x)) = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Этап 4.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- - x = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Этап 4.3.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 x = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Этап 4.3.1.1.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Этап 4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x = - \frac{15}{2}$

Этап 5

Найдем область определения $\frac{1}{x} + \frac{2}{15}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 5.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{15}{2}$

$- \frac{15}{2} < x < 0$

$x > 0$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{15}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{15}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 10$

Этап 7.1.2

Заменим $x$ на $- 10$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{- 10} + \frac{1}{3} < \frac{1}{5}$

Этап 7.1.3

Левая часть $0.2\overline{3}$ не меньше правой части $0.2$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $- \frac{15}{2} < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{15}{2} < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 7.2.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{- 4} + \frac{1}{3} < \frac{1}{5}$

Этап 7.2.3

Левая часть $0.08\overline{3}$ меньше правой части $0.2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 7.3

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 7.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} < \frac{1}{5}$

Этап 7.3.3

Левая часть $0.8\overline{3}$ не меньше правой части $0.2$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{15}{2}$ Ложь

$- \frac{15}{2} < x < 0$ Истина

$x > 0$ Ложь

$x < - \frac{15}{2}$ Ложь

$- \frac{15}{2} < x < 0$ Истина

$x > 0$ Ложь

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \frac{15}{2} < x < 0$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- \frac{15}{2} < x < 0$

Интервальное представление:

$(- \frac{15}{2}, 0)$

Этап 10