Алгебра Примеры

$\sqrt{- 4 y + 1} + \sqrt{2 y + 4} = 3$

Этап 1

Решим относительно $\sqrt{- 4 y + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$\sqrt{- 4 y + 1} + \sqrt{2 (y) + 4} = 3$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\sqrt{- 4 y + 1} + \sqrt{2 y + 2 \cdot 2} = 3$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 y + 2 \cdot 2$ .

$\sqrt{- 4 y + 1} + \sqrt{2 (y + 2)} = 3$

Этап 1.2

Вычтем $\sqrt{2 (y + 2)}$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{- 4 y + 1} = 3 - \sqrt{2 (y + 2)}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{- 4 y + 1}}^{2} = {(3 - \sqrt{2 (y + 2)})}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- 4 y + 1}$ в виде ${(- 4 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 4 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 - \sqrt{2 (y + 2)})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(- 4 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(- 4 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 4 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 - \sqrt{2 (y + 2)})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(- 4 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 - \sqrt{2 (y + 2)})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(- 4 y + 1)}^{1} = {(3 - \sqrt{2 (y + 2)})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$- 4 y + 1 = {(3 - \sqrt{2 (y + 2)})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(3 - \sqrt{2 (y + 2)})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(3 - \sqrt{2 (y + 2)})}^{2}$ в виде $(3 - \sqrt{2 (y + 2)}) (3 - \sqrt{2 (y + 2)})$ .

$- 4 y + 1 = (3 - \sqrt{2 (y + 2)}) (3 - \sqrt{2 (y + 2)})$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(3 - \sqrt{2 (y + 2)}) (3 - \sqrt{2 (y + 2)})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 y + 1 = 3 (3 - \sqrt{2 (y + 2)}) - \sqrt{2 (y + 2)} (3 - \sqrt{2 (y + 2)})$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 y + 1 = 3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{2 (y + 2)}) - \sqrt{2 (y + 2)} (3 - \sqrt{2 (y + 2)})$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 y + 1 = 3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{2 (y + 2)}) - \sqrt{2 (y + 2)} \cdot 3 - \sqrt{2 (y + 2)} (- \sqrt{2 (y + 2)})$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$- 4 y + 1 = 9 + 3 (- \sqrt{2 (y + 2)}) - \sqrt{2 (y + 2)} \cdot 3 - \sqrt{2 (y + 2)} (- \sqrt{2 (y + 2)})$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - \sqrt{2 (y + 2)} \cdot 3 - \sqrt{2 (y + 2)} (- \sqrt{2 (y + 2)})$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - \sqrt{2 (y + 2)} (- \sqrt{2 (y + 2)})$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $- \sqrt{2 (y + 2)} (- \sqrt{2 (y + 2)})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + 1 \sqrt{2 (y + 2)} \sqrt{2 (y + 2)}$

Этап 3.3.1.3.1.4.2

Умножим $\sqrt{2 (y + 2)}$ на $1$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + \sqrt{2 (y + 2)} \sqrt{2 (y + 2)}$

Этап 3.3.1.3.1.4.3

Возведем $\sqrt{2 (y + 2)}$ в степень $1$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + {\sqrt{2 (y + 2)}}^{1} \sqrt{2 (y + 2)}$

Этап 3.3.1.3.1.4.4

Возведем $\sqrt{2 (y + 2)}$ в степень $1$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + {\sqrt{2 (y + 2)}}^{1} {\sqrt{2 (y + 2)}}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + {\sqrt{2 (y + 2)}}^{1 + 1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + {\sqrt{2 (y + 2)}}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{2 (y + 2)}}^{2}$ в виде $2 (y + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 (y + 2)}$ в виде ${(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + {({(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + {(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.3.1.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + {(2 (y + 2))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + {(2 (y + 2))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + {(2 (y + 2))}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.5.5

Упростим.

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + 2 (y + 2)$

Этап 3.3.1.3.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + 2 y + 2 \cdot 2$

Этап 3.3.1.3.1.7

Умножим $2$ на $2$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + 2 y + 4$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $9$ и $4$ .

$- 4 y + 1 = 13 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + 2 y$

Этап 3.3.1.3.3

Вычтем $3 \sqrt{2 (y + 2)}$ из $- 3 \sqrt{2 (y + 2)}$ .

$- 4 y + 1 = 13 - 6 \sqrt{2 (y + 2)} + 2 y$

Этап 4

Решим относительно $- 6 \sqrt{2 (y + 2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $13 - 6 \sqrt{2 (y + 2)} + 2 y = - 4 y + 1$ .

$13 - 6 \sqrt{2 (y + 2)} + 2 y = - 4 y + 1$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $- 6 \sqrt{2 (y + 2)}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $13$ из обеих частей уравнения.

$- 6 \sqrt{2 (y + 2)} + 2 y = - 4 y + 1 - 13$

Этап 4.2.2

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$- 6 \sqrt{2 (y + 2)} = - 4 y + 1 - 13 - 2 y$

Этап 4.2.3

Вычтем $2 y$ из $- 4 y$ .

$- 6 \sqrt{2 (y + 2)} = - 6 y + 1 - 13$

Этап 4.2.4

Вычтем $13$ из $1$ .

$- 6 \sqrt{2 (y + 2)} = - 6 y - 12$

Этап 5

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- 6 \sqrt{2 (y + 2)})}^{2} = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Этап 6

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 (y + 2)}$ в виде ${(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 6 {(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(- 6 {(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(- 6 {(2 y + 2 \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

${(- 6 {(2 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.2.2

Применим правило умножения к $- 6 {(2 y + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 6)}^{2} {({(2 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.2.3

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$36 {({(2 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.2.4

Перемножим экспоненты в ${({(2 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 {(2 y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.2.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.4.2.1

Сократим общий множитель.

$36 {(2 y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.2.4.2.2

Перепишем это выражение.

$36 {(2 y + 4)}^{1} = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Упростим.

$36 (2 y + 4) = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$36 (2 y) + 36 \cdot 4 = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.5.1

Умножим $2$ на $36$ .

$72 y + 36 \cdot 4 = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.5.2

Умножим $36$ на $4$ .

$72 y + 144 = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим ${(- 6 y - 12)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Перепишем ${(- 6 y - 12)}^{2}$ в виде $(- 6 y - 12) (- 6 y - 12)$ .

$72 y + 144 = (- 6 y - 12) (- 6 y - 12)$

Этап 6.3.1.2

Развернем $(- 6 y - 12) (- 6 y - 12)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$72 y + 144 = - 6 y (- 6 y - 12) - 12 (- 6 y - 12)$

Этап 6.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$72 y + 144 = - 6 y (- 6 y) - 6 y \cdot - 12 - 12 (- 6 y - 12)$

Этап 6.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$72 y + 144 = - 6 y (- 6 y) - 6 y \cdot - 12 - 12 (- 6 y) - 12 \cdot - 12$

Этап 6.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$72 y + 144 = - 6 \cdot - 6 y \cdot y - 6 y \cdot - 12 - 12 (- 6 y) - 12 \cdot - 12$

Этап 6.3.1.3.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.2.1

Перенесем $y$ .

$72 y + 144 = - 6 \cdot - 6 (y \cdot y) - 6 y \cdot - 12 - 12 (- 6 y) - 12 \cdot - 12$

Этап 6.3.1.3.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$72 y + 144 = - 6 \cdot - 6 y^{2} - 6 y \cdot - 12 - 12 (- 6 y) - 12 \cdot - 12$

Этап 6.3.1.3.1.3

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$72 y + 144 = 36 y^{2} - 6 y \cdot - 12 - 12 (- 6 y) - 12 \cdot - 12$

Этап 6.3.1.3.1.4

Умножим $- 12$ на $- 6$ .

$72 y + 144 = 36 y^{2} + 72 y - 12 (- 6 y) - 12 \cdot - 12$

Этап 6.3.1.3.1.5

Умножим $- 6$ на $- 12$ .

$72 y + 144 = 36 y^{2} + 72 y + 72 y - 12 \cdot - 12$

Этап 6.3.1.3.1.6

Умножим $- 12$ на $- 12$ .

$72 y + 144 = 36 y^{2} + 72 y + 72 y + 144$

Этап 6.3.1.3.2

Добавим $72 y$ и $72 y$ .

$72 y + 144 = 36 y^{2} + 144 y + 144$

Этап 7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$36 y^{2} + 144 y + 144 = 72 y + 144$

Этап 7.2

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $72 y$ из обеих частей уравнения.

$36 y^{2} + 144 y + 144 - 72 y = 144$

Этап 7.2.2

Вычтем $72 y$ из $144 y$ .

$36 y^{2} + 72 y + 144 = 144$

Этап 7.3

Вычтем $144$ из обеих частей уравнения.

$36 y^{2} + 72 y + 144 - 144 = 0$

Этап 7.4

Объединим противоположные члены в $36 y^{2} + 72 y + 144 - 144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вычтем $144$ из $144$ .

$36 y^{2} + 72 y + 0 = 0$

Этап 7.4.2

Добавим $36 y^{2} + 72 y$ и $0$ .

$36 y^{2} + 72 y = 0$

Этап 7.5

Вынесем множитель $36 y$ из $36 y^{2} + 72 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель $36 y$ из $36 y^{2}$ .

$36 y (y) + 72 y = 0$

Этап 7.5.2

Вынесем множитель $36 y$ из $72 y$ .

$36 y (y) + 36 y (2) = 0$

Этап 7.5.3

Вынесем множитель $36 y$ из $36 y (y) + 36 y (2)$ .

$36 y (y + 2) = 0$

Этап 7.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y = 0$

$y + 2 = 0$

Этап 7.7

Приравняем $y$ к $0$ .

$y = 0$

Этап 7.8

Приравняем $y + 2$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Приравняем $y + 2$ к $0$ .

$y + 2 = 0$

Этап 7.8.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$y = - 2$

Этап 7.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $36 y (y + 2) = 0$ верно.

$y = 0, - 2$