Алгебра Примеры

$\frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 4} - \frac{2}{x^{2} - 6 x + 8} = 0$

Этап 1

Разложим $x^{2} - 6 x + 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $8$ , а сумма — $- 6$ .

$- 4, - 2$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 4} - \frac{2}{(x - 4) (x - 2)} = 0$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 2, x - 4, (x - 4) (x - 2), 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x - 4$ является само значение $x - 4$ .

$(x - 4) = x - 4$

$(x - 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $x - 2, x - 4, x - 4, x - 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 2) (x - 4)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 4} - \frac{2}{(x - 4) (x - 2)} = 0$ умножим на $(x - 2) (x - 4)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 4} - \frac{2}{(x - 4) (x - 2)} = 0$ на $(x - 2) (x - 4)$ .

$\frac{x}{x - 2} ((x - 2) (x - 4)) + \frac{1}{x - 4} ((x - 2) (x - 4)) - \frac{2}{(x - 4) (x - 2)} ((x - 2) (x - 4)) = 0 ((x - 2) (x - 4))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{x - 2} ((x - 2) (x - 4)) + \frac{1}{x - 4} ((x - 2) (x - 4)) - \frac{2}{(x - 4) (x - 2)} ((x - 2) (x - 4)) = 0 ((x - 2) (x - 4))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x (x - 4) + \frac{1}{x - 4} ((x - 2) (x - 4)) - \frac{2}{(x - 4) (x - 2)} ((x - 2) (x - 4)) = 0 ((x - 2) (x - 4))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 4 + \frac{1}{x - 4} ((x - 2) (x - 4)) - \frac{2}{(x - 4) (x - 2)} ((x - 2) (x - 4)) = 0 ((x - 2) (x - 4))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 4 + \frac{1}{x - 4} ((x - 2) (x - 4)) - \frac{2}{(x - 4) (x - 2)} ((x - 2) (x - 4)) = 0 ((x - 2) (x - 4))$

Этап 3.2.1.4

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$x^{2} - 4 \cdot x + \frac{1}{x - 4} ((x - 2) (x - 4)) - \frac{2}{(x - 4) (x - 2)} ((x - 2) (x - 4)) = 0 ((x - 2) (x - 4))$

Этап 3.2.1.5

Сократим общий множитель $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Вынесем множитель $x - 4$ из $(x - 2) (x - 4)$ .

$x^{2} - 4 x + \frac{1}{x - 4} ((x - 4) (x - 2)) - \frac{2}{(x - 4) (x - 2)} ((x - 2) (x - 4)) = 0 ((x - 2) (x - 4))$

Этап 3.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} - 4 x + \frac{1}{x - 4} ((x - 4) (x - 2)) - \frac{2}{(x - 4) (x - 2)} ((x - 2) (x - 4)) = 0 ((x - 2) (x - 4))$

Этап 3.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 4 x + x - 2 - \frac{2}{(x - 4) (x - 2)} ((x - 2) (x - 4)) = 0 ((x - 2) (x - 4))$

Этап 3.2.1.6

Сократим общий множитель $(x - 2) (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{(x - 4) (x - 2)}$ в числитель.

$x^{2} - 4 x + x - 2 + \frac{- 2}{(x - 4) (x - 2)} ((x - 2) (x - 4)) = 0 ((x - 2) (x - 4))$

Этап 3.2.1.6.2

Вынесем множитель $(x - 2) (x - 4)$ из $(x - 4) (x - 2)$ .

$x^{2} - 4 x + x - 2 + \frac{- 2}{(x - 2) (x - 4) (1)} ((x - 2) (x - 4)) = 0 ((x - 2) (x - 4))$

Этап 3.2.1.6.3

Сократим общий множитель.

$x^{2} - 4 x + x - 2 + \frac{- 2}{(x - 2) (x - 4) \cdot 1} ((x - 2) (x - 4)) = 0 ((x - 2) (x - 4))$

Этап 3.2.1.6.4

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 4 x + x - 2 - 2 = 0 ((x - 2) (x - 4))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $- 4 x$ и $x$ .

$x^{2} - 3 x - 2 - 2 = 0 ((x - 2) (x - 4))$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = 0 ((x - 2) (x - 4))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Развернем $(x - 2) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 3 x - 4 = 0 (x (x - 4) - 2 (x - 4))$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 3 x - 4 = 0 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 2 (x - 4))$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 3 x - 4 = 0 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 2 x - 2 \cdot - 4)$

Этап 3.3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = 0 (x^{2} + x \cdot - 4 - 2 x - 2 \cdot - 4)$

Этап 3.3.2.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = 0 (x^{2} - 4 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 4)$

Этап 3.3.2.1.3

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = 0 (x^{2} - 4 x - 2 x + 8)$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $2 x$ из $- 4 x$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = 0 (x^{2} - 6 x + 8)$

Этап 3.3.3

Умножим $0$ на $x^{2} - 6 x + 8$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим $x^{2} - 3 x - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $- 3$ .

$- 4, 1$

Этап 4.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 4) (x + 1) = 0$

Этап 4.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 4.3

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 4.3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 4.4

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 4.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 4, - 1$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 4} - \frac{2}{x^{2} - 6 x + 8} = 0$ истинным.

$x = - 1$