Алгебра Примеры

$\frac{1}{x - 1} - \frac{8}{x^{2} - x} = \frac{7 x}{x - 1}$

Этап 1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{1}{x - 1} - \frac{8}{x \cdot x - x} = \frac{7 x}{x - 1}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$\frac{1}{x - 1} - \frac{8}{x \cdot x + x \cdot - 1} = \frac{7 x}{x - 1}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$\frac{1}{x - 1} - \frac{8}{x (x - 1)} = \frac{7 x}{x - 1}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 1, x (x - 1), x - 1$

Этап 2.2

Поскольку $x - 1, x (x - 1), x - 1$ содержит как числа, так и переменные, для нахождения наименьшего общего кратного требуется четыре этапа. Найдем наименьшее общее кратное для числовой, переменной и составной переменной частей. Затем перемножим их.

Этапы поиска НОК для $x - 1, x (x - 1), x - 1$ :

1. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1$ .

2. Найдем НОК для переменной части $x^{1}$ .

3. Найдем НОК для составной переменной части $x - 1, x - 1, x - 1$ .

4. Перемножим все НОК.

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.6

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x$

Этап 2.8

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $x - 1, x - 1, x - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x - 1$

Этап 2.10

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$x (x - 1)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{1}{x - 1} - \frac{8}{x (x - 1)} = \frac{7 x}{x - 1}$ умножим на $x (x - 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x - 1} - \frac{8}{x (x - 1)} = \frac{7 x}{x - 1}$ на $x (x - 1)$ .

$\frac{1}{x - 1} (x (x - 1)) - \frac{8}{x (x - 1)} (x (x - 1)) = \frac{7 x}{x - 1} (x (x - 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $x (x - 1)$ .

$\frac{1}{x - 1} ((x - 1) x) - \frac{8}{x (x - 1)} (x (x - 1)) = \frac{7 x}{x - 1} (x (x - 1))$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x - 1} ((x - 1) x) - \frac{8}{x (x - 1)} (x (x - 1)) = \frac{7 x}{x - 1} (x (x - 1))$

Этап 3.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x - \frac{8}{x (x - 1)} (x (x - 1)) = \frac{7 x}{x - 1} (x (x - 1))$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $x (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{8}{x (x - 1)}$ в числитель.

$x + \frac{- 8}{x (x - 1)} (x (x - 1)) = \frac{7 x}{x - 1} (x (x - 1))$

Этап 3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x + \frac{- 8}{x (x - 1)} (x (x - 1)) = \frac{7 x}{x - 1} (x (x - 1))$

Этап 3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x - 8 = \frac{7 x}{x - 1} (x (x - 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $x (x - 1)$ .

$x - 8 = \frac{7 x}{x - 1} ((x - 1) x)$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$x - 8 = \frac{7 x}{x - 1} ((x - 1) x)$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$x - 8 = 7 x \cdot x$

Этап 3.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x - 8 = 7 (x^{1} x)$

Этап 3.3.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x - 8 = 7 (x^{1} x^{1})$

Этап 3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x - 8 = 7 x^{1 + 1}$

Этап 3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x - 8 = 7 x^{2}$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $7 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x - 8 - 7 x^{2} = 0$

Этап 4.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.3

Подставим значения $a = - 7$ , $b = 1$ и $c = - 8$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 7 \cdot - 8)}}{2 \cdot - 7}$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 7 \cdot - 8}}{2 \cdot - 7}$

Этап 4.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 7 \cdot - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 7$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 28 \cdot - 8}}{2 \cdot - 7}$

Этап 4.4.1.2.2

Умножим $28$ на $- 8$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 224}}{2 \cdot - 7}$

Этап 4.4.1.3

Вычтем $224$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 223}}{2 \cdot - 7}$

Этап 4.4.1.4

Перепишем $- 223$ в виде $- 1 (223)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 223}}{2 \cdot - 7}$

Этап 4.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (223)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{223}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{223}}{2 \cdot - 7}$

Этап 4.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{223}}{2 \cdot - 7}$

Этап 4.4.2

Умножим $2$ на $- 7$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{223}}{- 14}$

Этап 4.4.3

Упростим $\frac{- 1 \pm i \sqrt{223}}{- 14}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{223}}{14}$

Этап 4.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + i \sqrt{223}}{14}, \frac{1 - i \sqrt{223}}{14}$