Алгебра Примеры

$\cot (x) = 1$ , $π \leq x \leq \frac{3 π}{2}$

Этап 1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (1)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $arccot (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 3

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{4}$

Этап 4

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 4.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 5

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 6

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Подставим $1$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[π, \frac{3 π}{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Подставим $1$ вместо $n$ .

$\frac{π}{4} + π (1)$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $π$ на $1$ .

$\frac{π}{4} + π$

Этап 8.2.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{4} + π \cdot \frac{4}{4}$

Этап 8.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 4}{4}$

Этап 8.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π + π \cdot 4}{4}$

Этап 8.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{π + 4 \cdot π}{4}$

Этап 8.2.4.2

Добавим $π$ и $4 π$ .

$\frac{5 π}{4}$

Этап 8.3

Интервал $[π, \frac{3 π}{2}]$ содержит $\frac{5 π}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{4}$