Алгебра Примеры

$\frac{x + 3}{x - 3} + \frac{x}{x - 5} = \frac{x + 5}{x - 5}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 3, x - 5, x - 5$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $x - 3$ является само значение $x - 3$ .

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $x - 5$ является само значение $x - 5$ .

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

НОК $x - 3, x - 5, x - 5$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 3) (x - 5)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{x + 3}{x - 3} + \frac{x}{x - 5} = \frac{x + 5}{x - 5}$ умножим на $(x - 3) (x - 5)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{x + 3}{x - 3} + \frac{x}{x - 5} = \frac{x + 5}{x - 5}$ на $(x - 3) (x - 5)$ .

$\frac{x + 3}{x - 3} ((x - 3) (x - 5)) + \frac{x}{x - 5} ((x - 3) (x - 5)) = \frac{x + 5}{x - 5} ((x - 3) (x - 5))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 3}{x - 3} ((x - 3) (x - 5)) + \frac{x}{x - 5} ((x - 3) (x - 5)) = \frac{x + 5}{x - 5} ((x - 3) (x - 5))$

Этап 2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$(x + 3) (x - 5) + \frac{x}{x - 5} ((x - 3) (x - 5)) = \frac{x + 5}{x - 5} ((x - 3) (x - 5))$

Этап 2.2.1.2

Развернем $(x + 3) (x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - 5) + 3 (x - 5) + \frac{x}{x - 5} ((x - 3) (x - 5)) = \frac{x + 5}{x - 5} ((x - 3) (x - 5))$

Этап 2.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 5 + 3 (x - 5) + \frac{x}{x - 5} ((x - 3) (x - 5)) = \frac{x + 5}{x - 5} ((x - 3) (x - 5))$

Этап 2.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 5 + 3 x + 3 \cdot - 5 + \frac{x}{x - 5} ((x - 3) (x - 5)) = \frac{x + 5}{x - 5} ((x - 3) (x - 5))$

Этап 2.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 5 + 3 x + 3 \cdot - 5 + \frac{x}{x - 5} ((x - 3) (x - 5)) = \frac{x + 5}{x - 5} ((x - 3) (x - 5))$

Этап 2.2.1.3.1.2

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$x^{2} - 5 \cdot x + 3 x + 3 \cdot - 5 + \frac{x}{x - 5} ((x - 3) (x - 5)) = \frac{x + 5}{x - 5} ((x - 3) (x - 5))$

Этап 2.2.1.3.1.3

Умножим $3$ на $- 5$ .

$x^{2} - 5 x + 3 x - 15 + \frac{x}{x - 5} ((x - 3) (x - 5)) = \frac{x + 5}{x - 5} ((x - 3) (x - 5))$

Этап 2.2.1.3.2

Добавим $- 5 x$ и $3 x$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + \frac{x}{x - 5} ((x - 3) (x - 5)) = \frac{x + 5}{x - 5} ((x - 3) (x - 5))$

Этап 2.2.1.4

Сократим общий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1

Вынесем множитель $x - 5$ из $(x - 3) (x - 5)$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + \frac{x}{x - 5} ((x - 5) (x - 3)) = \frac{x + 5}{x - 5} ((x - 3) (x - 5))$

Этап 2.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} - 2 x - 15 + \frac{x}{x - 5} ((x - 5) (x - 3)) = \frac{x + 5}{x - 5} ((x - 3) (x - 5))$

Этап 2.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 2 x - 15 + x (x - 3) = \frac{x + 5}{x - 5} ((x - 3) (x - 5))$

Этап 2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 2 x - 15 + x \cdot x + x \cdot - 3 = \frac{x + 5}{x - 5} ((x - 3) (x - 5))$

Этап 2.2.1.6

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + x^{2} + x \cdot - 3 = \frac{x + 5}{x - 5} ((x - 3) (x - 5))$

Этап 2.2.1.7

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + x^{2} - 3 x = \frac{x + 5}{x - 5} ((x - 3) (x - 5))$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 2 x - 15 - 3 x = \frac{x + 5}{x - 5} ((x - 3) (x - 5))$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $3 x$ из $- 2 x$ .

$2 x^{2} - 5 x - 15 = \frac{x + 5}{x - 5} ((x - 3) (x - 5))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $x - 5$ из $(x - 3) (x - 5)$ .

$2 x^{2} - 5 x - 15 = \frac{x + 5}{x - 5} ((x - 5) (x - 3))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} - 5 x - 15 = \frac{x + 5}{x - 5} ((x - 5) (x - 3))$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} - 5 x - 15 = (x + 5) (x - 3)$

Этап 2.3.2

Развернем $(x + 5) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 5 x - 15 = x (x - 3) + 5 (x - 3)$

Этап 2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 5 x - 15 = x \cdot x + x \cdot - 3 + 5 (x - 3)$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 5 x - 15 = x \cdot x + x \cdot - 3 + 5 x + 5 \cdot - 3$

Этап 2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} - 5 x - 15 = x^{2} + x \cdot - 3 + 5 x + 5 \cdot - 3$

Этап 2.3.3.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$2 x^{2} - 5 x - 15 = x^{2} - 3 \cdot x + 5 x + 5 \cdot - 3$

Этап 2.3.3.1.3

Умножим $5$ на $- 3$ .

$2 x^{2} - 5 x - 15 = x^{2} - 3 x + 5 x - 15$

Этап 2.3.3.2

Добавим $- 3 x$ и $5 x$ .

$2 x^{2} - 5 x - 15 = x^{2} + 2 x - 15$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - 5 x - 15 - x^{2} = 2 x - 15$

Этап 3.1.2

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - 5 x - 15 - x^{2} - 2 x = - 15$

Этап 3.1.3

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 5 x - 15 - 2 x = - 15$

Этап 3.1.4

Вычтем $2 x$ из $- 5 x$ .

$x^{2} - 7 x - 15 = - 15$

Этап 3.2

Добавим $15$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 7 x - 15 + 15 = 0$

Этап 3.3

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 7 x - 15 + 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим $- 15$ и $15$ .

$x^{2} - 7 x + 0 = 0$

Этап 3.3.2

Добавим $x^{2} - 7 x$ и $0$ .

$x^{2} - 7 x = 0$

Этап 3.4

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 7 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x - 7 x = 0$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $x$ из $- 7 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 7 = 0$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 7$ .

$x (x - 7) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 7 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.7

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 3.7.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 7) = 0$ верно.

$x = 0, 7$