Алгебра Примеры

$\log_{3} (2 x^{2} + 2) - \log_{3} (x + 3) = 0$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{2 x^{2} + 2}{x + 3}) = 0$

Этап 1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{2 (x^{2}) + 2}{x + 3}) = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\log_{3} (\frac{2 (x^{2}) + 2 (1)}{x + 3}) = 0$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2}) + 2 (1)$ .

$\log_{3} (\frac{2 (x^{2} + 1)}{x + 3}) = 0$

Этап 2

Перепишем $\log_{3} (\frac{2 (x^{2} + 1)}{x + 3}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$3^{0} = \frac{2 (x^{2} + 1)}{x + 3}$

Этап 3

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$2 (x^{2} + 1) = 3^{0} (x + 3)$

Этап 4

Упростим $3^{0} (x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$2 (x^{2} + 1) = 1 (x + 3)$

Этап 4.2

Умножим $x + 3$ на $1$ .

$2 (x^{2} + 1) = x + 3$

Этап 5

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$2 (x^{2} + 1) - x = 3$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 2 \cdot 1 - x = 3$

Этап 5.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 x^{2} + 2 - x = 3$

Этап 6

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - x = 3 - 2$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$2 x^{2} - x = 1$

Этап 7

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

Этап 8

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

Этап 8.1.2

Запишем $- 1$ как $1$ плюс $- 2$

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

Этап 8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

Этап 8.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

Этап 8.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

Этап 8.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

Этап 8.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 10

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 10.2

Решим $2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 10.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 10.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 11

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 11.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 12

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Десятичная форма:

$x = - 0.5, 1$