Алгебра Примеры

${(2 x - 5)}^{2} - {(x - 6)}^{2} = 80$

Этап 1

Вычтем $80$ из обеих частей уравнения.

${(2 x - 5)}^{2} - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Этап 2

Упростим ${(2 x - 5)}^{2} - {(x - 6)}^{2} - 80$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем ${(2 x - 5)}^{2}$ в виде $(2 x - 5) (2 x - 5)$ .

$(2 x - 5) (2 x - 5) - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Этап 2.1.2

Развернем $(2 x - 5) (2 x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5) - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Этап 2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5) - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Этап 2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Этап 2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Этап 2.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Этап 2.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Этап 2.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Этап 2.1.3.1.4

Умножим $- 5$ на $2$ .

$4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Этап 2.1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 5$ .

$4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Этап 2.1.3.1.6

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Этап 2.1.3.2

Вычтем $10 x$ из $- 10 x$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Этап 2.1.4

Перепишем ${(x - 6)}^{2}$ в виде $(x - 6) (x - 6)$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - ((x - 6) (x - 6)) - 80 = 0$

Этап 2.1.5

Развернем $(x - 6) (x - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 20 x + 25 - (x (x - 6) - 6 (x - 6)) - 80 = 0$

Этап 2.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 20 x + 25 - (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6)) - 80 = 0$

Этап 2.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 20 x + 25 - (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) - 80 = 0$

Этап 2.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - (x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) - 80 = 0$

Этап 2.1.6.1.2

Перенесем $- 6$ влево от $x$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - (x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6) - 80 = 0$

Этап 2.1.6.1.3

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - (x^{2} - 6 x - 6 x + 36) - 80 = 0$

Этап 2.1.6.2

Вычтем $6 x$ из $- 6 x$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - (x^{2} - 12 x + 36) - 80 = 0$

Этап 2.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 20 x + 25 - x^{2} - (- 12 x) - 1 \cdot 36 - 80 = 0$

Этап 2.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Умножим $- 12$ на $- 1$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - x^{2} + 12 x - 1 \cdot 36 - 80 = 0$

Этап 2.1.8.2

Умножим $- 1$ на $36$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - x^{2} + 12 x - 36 - 80 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 20 x + 25 + 12 x - 36 - 80 = 0$

Этап 2.3

Добавим $- 20 x$ и $12 x$ .

$3 x^{2} - 8 x + 25 - 36 - 80 = 0$

Этап 2.4

Вычтем $36$ из $25$ .

$3 x^{2} - 8 x - 11 - 80 = 0$

Этап 2.5

Вычтем $80$ из $- 11$ .

$3 x^{2} - 8 x - 91 = 0$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 91 = - 273$ , а сумма — $b = - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $- 8$ из $- 8 x$ .

$3 x^{2} - 8 x - 91 = 0$

Этап 3.1.2

Запишем $- 8$ как $13$ плюс $- 21$

$3 x^{2} + (13 - 21) x - 91 = 0$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 13 x - 21 x - 91 = 0$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} + 13 x) - 21 x - 91 = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (3 x + 13) - 7 (3 x + 13) = 0$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 13$ .

$(3 x + 13) (x - 7) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 13 = 0$

$x - 7 = 0$

Этап 5

Приравняем $3 x + 13$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $3 x + 13$ к $0$ .

$3 x + 13 = 0$

Этап 5.2

Решим $3 x + 13 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $13$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 13$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 13$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 13$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 13}{3}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 13}{3}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 13}{3}$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{13}{3}$

Этап 6

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 6.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x + 13) (x - 7) = 0$ верно.

$x = - \frac{13}{3}, 7$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{13}{3}, 7$

Десятичная форма:

$x = - 4.\overline{3}, 7$

Форма смешанных чисел:

$x = - 4 \frac{1}{3}, 7$