Алгебра Примеры

$3 x (x + 1) \leq x (x + 5)$

Этап 1

Упростим $3 x (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$0 + 0 + 3 x (x + 1) \leq x (x + 5)$

Этап 1.2

Упростим путем добавления нулей.

$3 x (x + 1) \leq x (x + 5)$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot 1 \leq x (x + 5)$

Этап 1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перенесем $x$ .

$3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 1 \leq x (x + 5)$

Этап 1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 1 \leq x (x + 5)$

Этап 1.5

Умножим $3$ на $1$ .

$3 x^{2} + 3 x \leq x (x + 5)$

Этап 2

Упростим $x (x + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 3 x \leq x \cdot x + x \cdot 5$

Этап 2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \leq x^{2} + x \cdot 5$

Этап 2.2.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \leq x^{2} + 5 x$

Этап 3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей неравенства.

$3 x^{2} + 3 x - x^{2} \leq 5 x$

Этап 3.2

Вычтем $5 x$ из обеих частей неравенства.

$3 x^{2} + 3 x - x^{2} - 5 x \leq 0$

Этап 3.3

Вычтем $x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$2 x^{2} + 3 x - 5 x \leq 0$

Этап 3.4

Вычтем $5 x$ из $3 x$ .

$2 x^{2} - 2 x \leq 0$

Этап 4

Преобразуем неравенство в уравнение.

$2 x^{2} - 2 x = 0$

Этап 5

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{2}$ .

$2 x (x) - 2 x = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x$ .

$2 x (x) + 2 x (- 1) = 0$

Этап 5.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x) + 2 x (- 1)$ .

$2 x (x - 1) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 7

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 8

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 8.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x (x - 1) = 0$ верно.

$x = 0, 1$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$3 (- 2) ((- 2) + 1) \leq (- 2) ((- 2) + 5)$

Этап 11.1.3

Левая часть $6$ больше правой части $- 6$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.5$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $0.5$ в исходном неравенстве.

$3 (0.5) ((0.5) + 1) \leq (0.5) ((0.5) + 5)$

Этап 11.2.3

Левая часть $2.25$ меньше правой части $2.75$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$3 (4) ((4) + 1) \leq (4) ((4) + 5)$

Этап 11.3.3

Левая часть $60$ больше правой части $36$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 \leq x \leq 1$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$0 \leq x \leq 1$

Интервальное представление:

$[0, 1]$

Этап 14