Алгебра Примеры

{cos}^{2} (θ) - {sin}^{2} (θ) + sin (θ) = 0

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

Этап 1

Заменим

{cos}^{2} (θ)

$\cos^{2} (θ)$ на

1 - {sin}^{2} (θ)

$1 - \sin^{2} (θ)$ .

(1 - {sin}^{2} (θ)) - {sin}^{2} (θ) + sin (θ) = 0

$(1 - \sin^{2} (θ)) - \sin^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

Этап 2

Решим относительно

θ

$θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим

u

$u$ вместо

sin (θ)

$\sin (θ)$ .

1 - {(u)}^{2} - {(u)}^{2} + u = 0

$1 - {(u)}^{2} - {(u)}^{2} + u = 0$

Этап 2.2

Вычтем

u^{2}

$u^{2}$ из

- u^{2}

$- u^{2}$ .

1 - 2 u^{2} + u = 0

$1 - 2 u^{2} + u = 0$

Этап 2.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель

- 1

$- 1$ из

1 - 2 u^{2} + u

$1 - 2 u^{2} + u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перенесем

1

$1$ .

- 2 u^{2} + u + 1 = 0

$- 2 u^{2} + u + 1 = 0$

Этап 2.3.1.2

Вынесем множитель

- 1

$- 1$ из

- 2 u^{2}

$- 2 u^{2}$ .

- (2 u^{2}) + u + 1 = 0

$- (2 u^{2}) + u + 1 = 0$

Этап 2.3.1.3

Вынесем множитель

- 1

$- 1$ из

u

$u$ .

- (2 u^{2}) - 1 (- u) + 1 = 0

$- (2 u^{2}) - 1 (- u) + 1 = 0$

Этап 2.3.1.4

Перепишем

1

$1$ в виде

- 1 (- 1)

$- 1 (- 1)$ .

- (2 u^{2}) - 1 (- u) - 1 \cdot - 1 = 0

$- (2 u^{2}) - 1 (- u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 2.3.1.5

Вынесем множитель

- 1

$- 1$ из

- (2 u^{2}) - 1 (- u)

$- (2 u^{2}) - 1 (- u)$ .

- (2 u^{2} - u) - 1 \cdot - 1 = 0

$- (2 u^{2} - u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 2.3.1.6

Вынесем множитель

- 1

$- 1$ из

- (2 u^{2} - u) - 1 (- 1)

$- (2 u^{2} - u) - 1 (- 1)$ .

- (2 u^{2} - u - 1) = 0

$- (2 u^{2} - u - 1) = 0$

- (2 u^{2} - u - 1) = 0

$- (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Этап 2.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Для многочлена вида

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно

a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2

$a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ , а сумма —

b = - 1

$b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.1

Вынесем множитель

- 1

$- 1$ из

- u

$- u$ .

- (2 u^{2} - u - 1) = 0

$- (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Этап 2.3.2.1.1.2

Запишем

- 1

$- 1$ как

1

$1$ плюс

- 2

$- 2$

- (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0

$- (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Этап 2.3.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

- (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0

$- (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Этап 2.3.2.1.1.4

Умножим

u

$u$ на

1

$1$ .

- (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0

$- (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

- (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0

$- (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Этап 2.3.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

- (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0

$- (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Этап 2.3.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

- (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0

$- (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

- (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0

$- (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Этап 2.3.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель

2 u + 1

$2 u + 1$ .

- ((2 u + 1) (u - 1)) = 0

$- ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

- ((2 u + 1) (u - 1)) = 0

$- ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Этап 2.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

- (2 u + 1) (u - 1) = 0

$- (2 u + 1) (u - 1) = 0$

- (2 u + 1) (u - 1) = 0

$- (2 u + 1) (u - 1) = 0$

- (2 u + 1) (u - 1) = 0

$- (2 u + 1) (u - 1) = 0$

Этап 2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

0

$0$ , все выражение равно

0

$0$ .

2 u + 1 = 0

$2 u + 1 = 0$

u - 1 = 0

$u - 1 = 0$

Этап 2.5

Приравняем

2 u + 1

$2 u + 1$ к

0

$0$ , затем решим относительно

u

$u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем

2 u + 1

$2 u + 1$ к

0

$0$ .

2 u + 1 = 0

$2 u + 1 = 0$

Этап 2.5.2

Решим

2 u + 1 = 0

$2 u + 1 = 0$ относительно

u

$u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем

1

$1$ из обеих частей уравнения.

2 u = - 1

$2 u = - 1$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член

2 u = - 1

$2 u = - 1$ на

2

$2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член

2 u = - 1

$2 u = - 1$ на

2

$2$ .

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.5.2.2.2.1.2

Разделим

$u$ на

$1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{1}{2}$

Этап 2.6

Приравняем

$u - 1$ к

$0$ , затем решим относительно

$u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем

$u - 1$ к

$0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 2.6.2

Добавим

$1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых

$- (2 u + 1) (u - 1) = 0$ верно.

$u = - \frac{1}{2}, 1$

Этап 2.8

Подставим

$\sin (θ)$ вместо

$u$ .

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}, 1$

Этап 2.9

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для

$θ$ .

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}$

$\sin (θ) = 1$

Этап 2.10

Решим относительно

$θ$ в

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь

$θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Этап 2.10.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Точное значение

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ :

$- \frac{π}{6}$ .

$θ = - \frac{π}{6}$

Этап 2.10.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из

$2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к

$π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Этап 2.10.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.4.1

Вычтем

$2 π$ из

$2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Этап 2.10.4.2

Результирующий угол

$\frac{7 π}{6}$ является положительным, меньшим

$2 π$ и отличается от

$2 π + \frac{π}{6} + π$ на полный оборот.

$θ = \frac{7 π}{6}$

Этап 2.10.5

Найдем период

$\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.1

Период функции можно вычислить по формуле

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.10.5.2

Заменим

$b$ на

$1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.10.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

$0$ и

$1$ равно

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.10.5.4

Разделим

$2 π$ на

$1$ .

$2 π$

Этап 2.10.6

Добавим

$2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.6.1

Добавим

$2 π$ к

$- \frac{π}{6}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Этап 2.10.6.2

Чтобы записать

$2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 2.10.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.6.3.1

Объединим

$2 π$ и

$\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 2.10.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 2.10.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.6.4.1

Умножим

$6$ на

$2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Этап 2.10.6.4.2

Вычтем

$π$ из

$12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Этап 2.10.6.5

Перечислим новые углы.

$θ = \frac{11 π}{6}$

Этап 2.10.7

Период функции

$\sin (θ)$ равен

$2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые

$2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого

$n$

$θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого

$n$

Этап 2.11

Решим относительно

$θ$ в

$\sin (θ) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь

$θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (1)$

Этап 2.11.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Точное значение

$\arcsin (1)$ :

$\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Этап 2.11.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из

$π$ и найдем решение во втором квадранте.

$θ = π - \frac{π}{2}$

Этап 2.11.4

Упростим

$π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.4.1

Чтобы записать

$π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{2}{2}$ .

$θ = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.11.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.4.2.1

Объединим

$π$ и

$\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.11.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 2.11.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.4.3.1

Перенесем

$2$ влево от

$π$ .

$θ = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 2.11.4.3.2

Вычтем

$π$ из

$2 π$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Этап 2.11.5

Найдем период

$\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.5.1

Период функции можно вычислить по формуле

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.11.5.2

Заменим

$b$ на

$1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.11.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

$0$ и

$1$ равно

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.11.5.4

Разделим

$2 π$ на

$1$ .

$2 π$

Этап 2.11.6

Период функции

$\sin (θ)$ равен

$2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые

$2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого

$n$

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого

$n$

Этап 2.12

Перечислим все решения.

$θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого

$n$

Этап 2.13

Объединим ответы.

$θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого

$n$

$θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого

$n$