Алгебра Примеры

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Составим полный квадрат для $- \frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$b = 0$

$c = \frac{4}{3}$

Этап 1.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (- \frac{1}{3})}$

Этап 1.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{1}{3})}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{1}{3})}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{0}{- \frac{1}{3}}$

Этап 1.1.1.3.2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = 0 (- 1 \cdot 3)$

Этап 1.1.1.3.2.3

Умножим $0 (- 1 \cdot 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$d = 0 \cdot - 3$

Этап 1.1.1.3.2.3.2

Умножим $0$ на $- 3$ .

$d = 0$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Этап 1.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{0}{4 (- \frac{1}{3})}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{0}{- 4 (\frac{1}{3})}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{3}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{0}{\frac{- 4}{3}}$

Этап 1.1.1.4.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = \frac{4}{3} - \frac{0}{- \frac{4}{3}}$

Этап 1.1.1.4.2.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e = \frac{4}{3} - (0 (- \frac{3}{4}))$

Этап 1.1.1.4.2.1.5

Умножим $0 (- \frac{3}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e = \frac{4}{3} - (0 (\frac{3}{4}))$

Этап 1.1.1.4.2.1.5.2

Умножим $0$ на $\frac{3}{4}$ .

$e = \frac{4}{3} - 0$

Этап 1.1.1.4.2.1.6

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e = \frac{4}{3} + 0$

Этап 1.1.1.4.2.2

Добавим $\frac{4}{3}$ и $0$ .

$e = \frac{4}{3}$

Этап 1.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- \frac{1}{3} {(x + 0)}^{2} + \frac{4}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x + 0)}^{2} + \frac{4}{3}$

Этап 1.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - \frac{1}{3} \cdot {(x + 0)}^{2} + \frac{4}{3}$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$h = 0$

$k = \frac{4}{3}$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(0, \frac{4}{3})$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{3})}$

Этап 1.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{3})}$

Этап 1.5.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{3})}$

Этап 1.5.3.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{3}}$

Этап 1.5.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- (1 (\frac{3}{4}))$

Этап 1.5.3.4

Умножим $\frac{3}{4}$ на $1$ .

$- \frac{3}{4}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, \frac{7}{12})$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 0$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = \frac{25}{12}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(0, \frac{4}{3})$

Фокус: $(0, \frac{7}{12})$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = \frac{25}{12}$

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(0, \frac{4}{3})$

Фокус: $(0, \frac{7}{12})$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = \frac{25}{12}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 1) = \frac{- {(- 1)}^{2} + 4}{3}$

Этап 2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- 1) = \frac{(- 1) {(- 1)}^{2} + 4}{3}$

Этап 2.2.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{1 + 2} + 4}{3}$

Этап 2.2.2.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{3} + 4}{3}$

Этап 2.2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 4}{3}$

Этап 2.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Добавим $- 1$ и $4$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3}$

Этап 2.2.3.2

Разделим $3$ на $3$ .

$f (- 1) = 1$

Этап 2.2.4

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = - 1$ равно $1$ .

$y = 1$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 2) = \frac{- {(- 2)}^{2} + 4}{3}$

Этап 2.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 4}{3}$

Этап 2.5.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 + 4}{3}$

Этап 2.5.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Добавим $- 4$ и $4$ .

$f (- 2) = \frac{0}{3}$

Этап 2.5.3.2

Разделим $0$ на $3$ .

$f (- 2) = 0$

Этап 2.5.4

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = - 2$ равно $0$ .

$y = 0$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (1) = \frac{- {(1)}^{2} + 4}{3}$

Этап 2.8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{- 1 \cdot 1 + 4}{3}$

Этап 2.8.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = \frac{- 1 + 4}{3}$

Этап 2.8.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Добавим $- 1$ и $4$ .

$f (1) = \frac{3}{3}$

Этап 2.8.3.2

Разделим $3$ на $3$ .

$f (1) = 1$

Этап 2.8.4

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = 1$ равно $1$ .

$y = 1$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (2) = \frac{- {(2)}^{2} + 4}{3}$

Этап 2.11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 4}{3}$

Этап 2.11.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (2) = \frac{- 4 + 4}{3}$

Этап 2.11.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.3.1

Добавим $- 4$ и $4$ .

$f (2) = \frac{0}{3}$

Этап 2.11.3.2

Разделим $0$ на $3$ .

$f (2) = 0$

Этап 2.11.4

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = 2$ равно $0$ .

$y = 0$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & 1 \\ 0 & \frac{4}{3} \\ 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(0, \frac{4}{3})$

Фокус: $(0, \frac{7}{12})$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = \frac{25}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & 1 \\ 0 & \frac{4}{3} \\ 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}$

Этап 4