Алгебра Примеры

$x^{3} - 2 x^{2} > 15 x$

Этап 1

Вычтем $15 x$ из обеих частей неравенства.

$x^{3} - 2 x^{2} - 15 x > 0$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{3} - 2 x^{2} - 15 x = 0$

Этап 3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 2 x^{2} - 15 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - 15 x = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - 15 x = 0$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 15 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 15 = 0$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 15 = 0$

Этап 3.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 15$ .

$x (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

Этап 3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разложим $x^{2} - 2 x - 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 15$ , а сумма — $- 2$ .

$- 5, 3$

Этап 3.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$x ((x - 5) (x + 3)) = 0$

Этап 3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x - 5) (x + 3) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 5

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 6

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 6.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 7

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 7.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 5) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 0, 5, - 3$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

${(- 6)}^{3} - 2 {(- 6)}^{2} > 15 (- 6)$

Этап 10.1.3

Левая часть $- 288$ не больше правой части $- 90$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

${(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} > 15 (- 2)$

Этап 10.2.3

Левая часть $- 16$ больше правой части $- 30$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

${(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} > 15 (2)$

Этап 10.3.3

Левая часть $0$ не больше правой части $30$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.4

Проверим значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Выберем значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 10.4.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

${(8)}^{3} - 2 {(8)}^{2} > 15 (8)$

Этап 10.4.3

Левая часть $384$ больше правой части $120$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 0$ Истина

$0 < x < 5$ Ложь

$x > 5$ Истина

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 0$ Истина

$0 < x < 5$ Ложь

$x > 5$ Истина

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 3 < x < 0$ или $x > 5$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 3 < x < 0 or x > 5$

Интервальное представление:

$(- 3, 0) \cup (5, \infty)$

Этап 13