Алгебра Примеры

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 5 x + 4} \leq 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{2} - 1 = 0$

$x^{2} + 5 x + 4 = 0$

Этап 2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 1$

Этап 3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 6

Разложим $x^{2} + 5 x + 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $4$ , а сумма — $5$ .

$1, 4$

Этап 6.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 1) (x + 4) = 0$

Этап 7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 8

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 8.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 9

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 9.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 10

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x + 4) = 0$ верно.

$x = - 1, - 4$

Этап 11

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 1, - 1$

$x = - 1, - 4$

Этап 12

Объединим решения.

$x = 1, - 1, - 1, - 4$

Этап 13

Найдем область определения $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 5 x + 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 5 x + 4}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} + 5 x + 4 = 0$

Этап 13.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Разложим $x^{2} + 5 x + 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

$1, 4$

Этап 13.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 1) (x + 4) = 0$

Этап 13.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 13.2.3

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 13.2.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 13.2.4

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 13.2.4.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 13.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x + 4) = 0$ верно.

$x = - 1, - 4$

Этап 13.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Этап 14

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Этап 15

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Проверим значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 15.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 1}{{(- 6)}^{2} + 5 (- 6) + 4} \leq 0$

Этап 15.1.3

Левая часть $3.5$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 15.2

Проверим значение на интервале $- 4 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 15.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 2)}^{2} - 1}{{(- 2)}^{2} + 5 (- 2) + 4} \leq 0$

Этап 15.2.3

Левая часть $- 1.5$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 15.3

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 15.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(0)}^{2} - 1}{{(0)}^{2} + 5 (0) + 4} \leq 0$

Этап 15.3.3

Левая часть $- 0.25$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 15.4

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 15.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(4)}^{2} - 1}{{(4)}^{2} + 5 (4) + 4} \leq 0$

Этап 15.4.3

Левая часть $0.375$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 15.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

Этап 16

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 4 < x < - 1$ или $- 1 < x \leq 1$

Этап 17

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 4 < x < - 1 or - 1 < x \leq 1$

Интервальное представление:

$(- 4, - 1) \cup (- 1, 1]$

Этап 18