Алгебра Примеры

$\log_{5} (\frac{25}{x}) = 4 + \log_{5} (x)$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\log_{5} (\frac{25}{x}) - \log_{5} (x) = 4$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{\frac{25}{x}}{x}) = 4$

Этап 3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\log_{5} (\frac{25}{x} \cdot \frac{1}{x}) = 4$

Этап 4

Умножим $\frac{25}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{25}{x}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\log_{5} (\frac{25}{x \cdot x}) = 4$

Этап 4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\log_{5} (\frac{25}{x \cdot x}) = 4$

Этап 4.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\log_{5} (\frac{25}{x \cdot x}) = 4$

Этап 4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{5} (\frac{25}{x^{1 + 1}}) = 4$

Этап 4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\log_{5} (\frac{25}{x^{2}}) = 4$

Этап 5

Перепишем $\log_{5} (\frac{25}{x^{2}}) = 4$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$5^{4} = \frac{25}{x^{2}}$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{25}{x^{2}} = 5^{4}$ .

$\frac{25}{x^{2}} = 5^{4}$

Этап 6.2

Возведем $5$ в степень $4$ .

$\frac{25}{x^{2}} = 625$

Этап 6.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{2}, 1$

Этап 6.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{2}$

Этап 6.4

Каждый член в $\frac{25}{x^{2}} = 625$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим каждый член $\frac{25}{x^{2}} = 625$ на $x^{2}$ .

$\frac{25}{x^{2}} x^{2} = 625 x^{2}$

Этап 6.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{25}{x^{2}} x^{2} = 625 x^{2}$

Этап 6.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$25 = 625 x^{2}$

Этап 6.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Перепишем уравнение в виде $625 x^{2} = 25$ .

$625 x^{2} = 25$

Этап 6.5.2

Разделим каждый член $625 x^{2} = 25$ на $625$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Разделим каждый член $625 x^{2} = 25$ на $625$ .

$\frac{625 x^{2}}{625} = \frac{25}{625}$

Этап 6.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Сократим общий множитель $625$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{625 x^{2}}{625} = \frac{25}{625}$

Этап 6.5.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{625}$

Этап 6.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1

Сократим общий множитель $25$ и $625$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1.1

Вынесем множитель $25$ из $25$ .

$x^{2} = \frac{25 (1)}{625}$

Этап 6.5.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $25$ из $625$ .

$x^{2} = \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 25}$

Этап 6.5.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 25}$

Этап 6.5.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} = \frac{1}{25}$

Этап 6.5.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{25}}$

Этап 6.5.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{25}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{25}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$

Этап 6.5.4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{25}}$

Этап 6.5.4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.4.3.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

Этап 6.5.4.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{1}{5}$

Этап 6.5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{1}{5}$

Этап 6.5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{1}{5}$

Этап 6.5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{1}{5}, - \frac{1}{5}$

Этап 7

Исключим решения, которые не делают $\log_{5} (\frac{25}{x}) = 4 + \log_{5} (x)$ истинным.

$x = \frac{1}{5}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{1}{5}$

Десятичная форма:

$x = 0.2$