Алгебра Примеры

$\frac{5}{2 x + 2} - \frac{1}{6} = \frac{2}{x + 3}$

Этап 1

Добавим $\frac{1}{6}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{5}{2 x + 2} = \frac{2}{x + 3} + \frac{1}{6}$

Этап 2

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{5}{2 (x) + 2} = \frac{2}{x + 3} + \frac{1}{6}$

Этап 2.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{5}{2 (x) + 2 (1)} = \frac{2}{x + 3} + \frac{1}{6}$

Этап 2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{5}{2 (x + 1)} = \frac{2}{x + 3} + \frac{1}{6}$

Этап 3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 (x + 1), x + 3, 6$

Этап 3.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.3

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 3.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.5

У $6$ есть множители: $2$ и $3$ .

$2 \cdot 3$

Этап 3.6

Умножим $2$ на $3$ .

$6$

Этап 3.7

Множителем $x + 1$ является само значение $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 3.8

Множителем $x + 3$ является само значение $x + 3$ .

$(x + 3) = x + 3$

$(x + 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 3.9

НОК $x + 1, x + 3$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 1) (x + 3)$

Этап 3.10

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$6 (x + 1) (x + 3)$

Этап 4

Каждый член в $\frac{5}{2 (x + 1)} = \frac{2}{x + 3} + \frac{1}{6}$ умножим на $6 (x + 1) (x + 3)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим каждый член $\frac{5}{2 (x + 1)} = \frac{2}{x + 3} + \frac{1}{6}$ на $6 (x + 1) (x + 3)$ .

$\frac{5}{2 (x + 1)} (6 (x + 1) (x + 3)) = \frac{2}{x + 3} (6 (x + 1) (x + 3)) + \frac{1}{6} (6 (x + 1) (x + 3))$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 \frac{5}{2 (x + 1)} ((x + 1) (x + 3)) = \frac{2}{x + 3} (6 (x + 1) (x + 3)) + \frac{1}{6} (6 (x + 1) (x + 3))$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 (3) \frac{5}{2 (x + 1)} ((x + 1) (x + 3)) = \frac{2}{x + 3} (6 (x + 1) (x + 3)) + \frac{1}{6} (6 (x + 1) (x + 3))$

Этап 4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 3 \frac{5}{2 (x + 1)} ((x + 1) (x + 3)) = \frac{2}{x + 3} (6 (x + 1) (x + 3)) + \frac{1}{6} (6 (x + 1) (x + 3))$

Этап 4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$3 \frac{5}{x + 1} ((x + 1) (x + 3)) = \frac{2}{x + 3} (6 (x + 1) (x + 3)) + \frac{1}{6} (6 (x + 1) (x + 3))$

Этап 4.2.3

Объединим $3$ и $\frac{5}{x + 1}$ .

$\frac{3 \cdot 5}{x + 1} ((x + 1) (x + 3)) = \frac{2}{x + 3} (6 (x + 1) (x + 3)) + \frac{1}{6} (6 (x + 1) (x + 3))$

Этап 4.2.4

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{15}{x + 1} ((x + 1) (x + 3)) = \frac{2}{x + 3} (6 (x + 1) (x + 3)) + \frac{1}{6} (6 (x + 1) (x + 3))$

Этап 4.2.5

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{15}{x + 1} ((x + 1) (x + 3)) = \frac{2}{x + 3} (6 (x + 1) (x + 3)) + \frac{1}{6} (6 (x + 1) (x + 3))$

Этап 4.2.5.2

Перепишем это выражение.

$15 (x + 3) = \frac{2}{x + 3} (6 (x + 1) (x + 3)) + \frac{1}{6} (6 (x + 1) (x + 3))$

Этап 4.2.6

Применим свойство дистрибутивности.

$15 x + 15 \cdot 3 = \frac{2}{x + 3} (6 (x + 1) (x + 3)) + \frac{1}{6} (6 (x + 1) (x + 3))$

Этап 4.2.7

Умножим $15$ на $3$ .

$15 x + 45 = \frac{2}{x + 3} (6 (x + 1) (x + 3)) + \frac{1}{6} (6 (x + 1) (x + 3))$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$15 x + 45 = 6 \frac{2}{x + 3} ((x + 1) (x + 3)) + \frac{1}{6} (6 (x + 1) (x + 3))$

Этап 4.3.1.2

Умножим $6 \frac{2}{x + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Объединим $6$ и $\frac{2}{x + 3}$ .

$15 x + 45 = \frac{6 \cdot 2}{x + 3} ((x + 1) (x + 3)) + \frac{1}{6} (6 (x + 1) (x + 3))$

Этап 4.3.1.2.2

Умножим $6$ на $2$ .

$15 x + 45 = \frac{12}{x + 3} ((x + 1) (x + 3)) + \frac{1}{6} (6 (x + 1) (x + 3))$

Этап 4.3.1.3

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Вынесем множитель $x + 3$ из $(x + 1) (x + 3)$ .

$15 x + 45 = \frac{12}{x + 3} ((x + 3) (x + 1)) + \frac{1}{6} (6 (x + 1) (x + 3))$

Этап 4.3.1.3.2

Сократим общий множитель.

$15 x + 45 = \frac{12}{x + 3} ((x + 3) (x + 1)) + \frac{1}{6} (6 (x + 1) (x + 3))$

Этап 4.3.1.3.3

Перепишем это выражение.

$15 x + 45 = 12 (x + 1) + \frac{1}{6} (6 (x + 1) (x + 3))$

Этап 4.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$15 x + 45 = 12 x + 12 \cdot 1 + \frac{1}{6} (6 (x + 1) (x + 3))$

Этап 4.3.1.5

Умножим $12$ на $1$ .

$15 x + 45 = 12 x + 12 + \frac{1}{6} (6 (x + 1) (x + 3))$

Этап 4.3.1.6

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.1

Вынесем множитель $6$ из $6 (x + 1) (x + 3)$ .

$15 x + 45 = 12 x + 12 + \frac{1}{6} (6 ((x + 1) (x + 3)))$

Этап 4.3.1.6.2

Сократим общий множитель.

$15 x + 45 = 12 x + 12 + \frac{1}{6} (6 ((x + 1) (x + 3)))$

Этап 4.3.1.6.3

Перепишем это выражение.

$15 x + 45 = 12 x + 12 + (x + 1) (x + 3)$

Этап 4.3.1.7

Развернем $(x + 1) (x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$15 x + 45 = 12 x + 12 + x (x + 3) + 1 (x + 3)$

Этап 4.3.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$15 x + 45 = 12 x + 12 + x \cdot x + x \cdot 3 + 1 (x + 3)$

Этап 4.3.1.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$15 x + 45 = 12 x + 12 + x \cdot x + x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3$

Этап 4.3.1.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.8.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$15 x + 45 = 12 x + 12 + x^{2} + x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3$

Этап 4.3.1.8.1.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$15 x + 45 = 12 x + 12 + x^{2} + 3 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 3$

Этап 4.3.1.8.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$15 x + 45 = 12 x + 12 + x^{2} + 3 x + x + 1 \cdot 3$

Этап 4.3.1.8.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$15 x + 45 = 12 x + 12 + x^{2} + 3 x + x + 3$

Этап 4.3.1.8.2

Добавим $3 x$ и $x$ .

$15 x + 45 = 12 x + 12 + x^{2} + 4 x + 3$

Этап 4.3.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Добавим $12 x$ и $4 x$ .

$15 x + 45 = 16 x + 12 + x^{2} + 3$

Этап 4.3.2.2

Добавим $12$ и $3$ .

$15 x + 45 = 16 x + x^{2} + 15$

Этап 5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$16 x + x^{2} + 15 = 15 x + 45$

Этап 5.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $15 x$ из обеих частей уравнения.

$16 x + x^{2} + 15 - 15 x = 45$

Этап 5.2.2

Вычтем $15 x$ из $16 x$ .

$x + x^{2} + 15 = 45$

Этап 5.3

Вычтем $45$ из обеих частей уравнения.

$x + x^{2} + 15 - 45 = 0$

Этап 5.4

Вычтем $45$ из $15$ .

$x + x^{2} - 30 = 0$

Этап 5.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$u + u^{2} - 30 = 0$

Этап 5.5.2

Разложим $u + u^{2} - 30$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 30$ , а сумма — $1$ .

$- 5, 6$

Этап 5.5.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 5) (u + 6) = 0$

Этап 5.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x - 5) (x + 6) = 0$

Этап 5.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 6 = 0$

Этап 5.7

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 5.7.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 5.8

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 5.8.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 5.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 5) (x + 6) = 0$ верно.

$x = 5, - 6$