Алгебра Примеры

$| 2 x - 6 | + | 3 - x | > 12$

Этап 1

Заменим $>$ на $=$ в $| 2 x - 6 | + | 3 - x | > 12$ .

$| 2 x - 6 | + | 3 - x | = 12$

Этап 2

Вычтем $| 2 x - 6 |$ из обеих частей уравнения.

$| 3 - x | = 12 - | 2 x - 6 |$

Этап 3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$3 - x = \pm (12 - | 2 x - 6 |)$

Этап 4

Результат состоит как из положительных, так и из отрицательных частей $\pm$ .

$3 - x = 12 - | 2 x - 6 |$

$3 - x = - (12 - | 2 x - 6 |)$

Этап 5

Решим $3 - x = 12 - | 2 x - 6 |$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Решим относительно $| 2 x - 6 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем уравнение в виде $12 - | 2 x - 6 | = 3 - x$ .

$12 - | 2 x - 6 | = 3 - x$

Этап 5.1.2

Перенесем все члены без $| 2 x - 6 |$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$- | 2 x - 6 | = 3 - x - 12$

Этап 5.1.2.2

Вычтем $12$ из $3$ .

$- | 2 x - 6 | = - x - 9$

Этап 5.1.3

Разделим каждый член $- | 2 x - 6 | = - x - 9$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Разделим каждый член $- | 2 x - 6 | = - x - 9$ на $- 1$ .

$\frac{- | 2 x - 6 |}{- 1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{- 9}{- 1}$

Этап 5.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{| 2 x - 6 |}{1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{- 9}{- 1}$

Этап 5.1.3.2.2

Разделим $| 2 x - 6 |$ на $1$ .

$| 2 x - 6 | = \frac{- x}{- 1} + \frac{- 9}{- 1}$

Этап 5.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$| 2 x - 6 | = \frac{x}{1} + \frac{- 9}{- 1}$

Этап 5.1.3.3.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$| 2 x - 6 | = x + \frac{- 9}{- 1}$

Этап 5.1.3.3.1.3

Разделим $- 9$ на $- 1$ .

$| 2 x - 6 | = x + 9$

Этап 5.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$2 x - 6 = \pm (x + 9)$

Этап 5.3

Результат состоит как из положительных, так и из отрицательных частей $\pm$ .

$2 x - 6 = x + 9$

$2 x - 6 = - (x + 9)$

Этап 5.4

Решим $2 x - 6 = x + 9$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$2 x - 6 - x = 9$

Этап 5.4.1.2

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$x - 6 = 9$

Этап 5.4.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 9 + 6$

Этап 5.4.2.2

Добавим $9$ и $6$ .

$x = 15$

Этап 5.5

Решим $2 x - 6 = - (x + 9)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим $- (x + 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Перепишем.

$2 x - 6 = 0 + 0 - (x + 9)$

Этап 5.5.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$2 x - 6 = - (x + 9)$

Этап 5.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - 6 = - x - 1 \cdot 9$

Этап 5.5.1.4

Умножим $- 1$ на $9$ .

$2 x - 6 = - x - 9$

Этап 5.5.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$2 x - 6 + x = - 9$

Этап 5.5.2.2

Добавим $2 x$ и $x$ .

$3 x - 6 = - 9$

Этап 5.5.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$3 x = - 9 + 6$

Этап 5.5.3.2

Добавим $- 9$ и $6$ .

$3 x = - 3$

Этап 5.5.4

Разделим каждый член $3 x = - 3$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Разделим каждый член $3 x = - 3$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 3}{3}$

Этап 5.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 3}{3}$

Этап 5.5.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{3}$

Этап 5.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.3.1

Разделим $- 3$ на $3$ .

$x = - 1$

Этап 5.6

Объединим решения.

$x = 15, - 1$

Этап 6

Решим $3 - x = - (12 - | 2 x - 6 |)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Решим относительно $| 2 x - 6 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перепишем уравнение в виде $- (12 - | 2 x - 6 |) = 3 - x$ .

$- (12 - | 2 x - 6 |) = 3 - x$

Этап 6.1.2

Упростим $- (12 - | 2 x - 6 |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 \cdot 12 - - | 2 x - 6 | = 3 - x$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- 1$ на $12$ .

$- 12 - - | 2 x - 6 | = 3 - x$

Этап 6.1.2.3

Умножим $- - | 2 x - 6 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 12 + 1 | 2 x - 6 | = 3 - x$

Этап 6.1.2.3.2

Умножим $| 2 x - 6 |$ на $1$ .

$- 12 + | 2 x - 6 | = 3 - x$

Этап 6.1.3

Перенесем все члены без $| 2 x - 6 |$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$| 2 x - 6 | = 3 - x + 12$

Этап 6.1.3.2

Добавим $3$ и $12$ .

$| 2 x - 6 | = - x + 15$

Этап 6.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$2 x - 6 = \pm (- x + 15)$

Этап 6.3

Результат состоит как из положительных, так и из отрицательных частей $\pm$ .

$2 x - 6 = - x + 15$

$2 x - 6 = - (- x + 15)$

Этап 6.4

Решим $2 x - 6 = - x + 15$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$2 x - 6 + x = 15$

Этап 6.4.1.2

Добавим $2 x$ и $x$ .

$3 x - 6 = 15$

Этап 6.4.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 15 + 6$

Этап 6.4.2.2

Добавим $15$ и $6$ .

$3 x = 21$

Этап 6.4.3

Разделим каждый член $3 x = 21$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Разделим каждый член $3 x = 21$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{21}{3}$

Этап 6.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{21}{3}$

Этап 6.4.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{21}{3}$

Этап 6.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.3.1

Разделим $21$ на $3$ .

$x = 7$

Этап 6.5

Решим $2 x - 6 = - (- x + 15)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Упростим $- (- x + 15)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Перепишем.

$2 x - 6 = 0 + 0 - (- x + 15)$

Этап 6.5.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$2 x - 6 = - (- x + 15)$

Этап 6.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - 6 = - - x - 1 \cdot 15$

Этап 6.5.1.4

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 x - 6 = 1 x - 1 \cdot 15$

Этап 6.5.1.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$2 x - 6 = x - 1 \cdot 15$

Этап 6.5.1.5

Умножим $- 1$ на $15$ .

$2 x - 6 = x - 15$

Этап 6.5.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$2 x - 6 - x = - 15$

Этап 6.5.2.2

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$x - 6 = - 15$

Этап 6.5.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = - 15 + 6$

Этап 6.5.3.2

Добавим $- 15$ и $6$ .

$x = - 9$

Этап 6.6

Объединим решения.

$x = 7, - 9$

Этап 7

Объединим решения.

$x = 15, - 1, 7, - 9$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 9$

$- 9 < x < - 1$

$- 1 < x < 7$

$7 < x < 15$

$x > 15$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < - 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 12$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 12$ в исходном неравенстве.

$| 2 (- 12) - 6 | + | 3 - (- 12) | > 12$

Этап 9.1.3

Левая часть $45$ больше правой части $12$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $- 9 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $- 9 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 5$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $- 5$ в исходном неравенстве.

$| 2 (- 5) - 6 | + | 3 - (- 5) | > 12$

Этап 9.2.3

Левая часть $24$ больше правой части $12$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$| 2 (0) - 6 | + | 3 - (0) | > 12$

Этап 9.3.3

Левая часть $9$ не больше правой части $12$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.4

Проверим значение на интервале $7 < x < 15$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Выберем значение на интервале $7 < x < 15$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 11$

Этап 9.4.2

Заменим $x$ на $11$ в исходном неравенстве.

$| 2 (11) - 6 | + | 3 - (11) | > 12$

Этап 9.4.3

Левая часть $24$ больше правой части $12$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.5

Проверим значение на интервале $x > 15$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Выберем значение на интервале $x > 15$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 18$

Этап 9.5.2

Заменим $x$ на $18$ в исходном неравенстве.

$| 2 (18) - 6 | + | 3 - (18) | > 12$

Этап 9.5.3

Левая часть $45$ больше правой части $12$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 9$ Истина

$- 9 < x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 7$ Ложь

$7 < x < 15$ Истина

$x > 15$ Истина

$x < - 9$ Истина

$- 9 < x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 7$ Ложь

$7 < x < 15$ Истина

$x > 15$ Истина

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 9$ или $- 9 < x < - 1$ или $7 < x < 15$ или $x > 15$

Этап 11

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, - 1) \cup (7, 15) \cup (15, \infty)$

Этап 12