Алгебра Примеры

$\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9} \geq 9$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9}}^{2} \geq 9^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9}$ в виде ${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 9^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 9^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 9^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{1} \geq 9^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$4 x^{2} - 12 x + 9 \geq 9^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$4 x^{2} - 12 x + 9 \geq 81$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$4 x^{2} - 12 x + 9 = 81$

Этап 3.2

Вычтем $81$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - 12 x + 9 - 81 = 0$

Этап 3.3

Вычтем $81$ из $9$ .

$4 x^{2} - 12 x - 72 = 0$

Этап 3.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} - 12 x - 72$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) - 12 x - 72 = 0$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 12 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (- 3 x) - 72 = 0$

Этап 3.4.1.3

Вынесем множитель $4$ из $- 72$ .

$4 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot - 18 = 0$

Этап 3.4.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} + 4 (- 3 x)$ .

$4 (x^{2} - 3 x) + 4 \cdot - 18 = 0$

Этап 3.4.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{2} - 3 x) + 4 \cdot - 18$ .

$4 (x^{2} - 3 x - 18) = 0$

Этап 3.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разложим $x^{2} - 3 x - 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 18$ , а сумма — $- 3$ .

$- 6, 3$

Этап 3.4.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$4 ((x - 6) (x + 3)) = 0$

Этап 3.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (x - 6) (x + 3) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 3.7

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 3.7.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 (x - 6) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 6, - 3$

Этап 4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < 6$

$x > 6$

Этап 5

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 5.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{4 {(- 6)}^{2} - 12 \cdot - 6 + 9} \geq 9$

Этап 5.1.3

Левая часть $15$ больше правой части $9$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 5.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 5.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{4 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 9} \geq 9$

Этап 5.2.3

Левая часть $3$ меньше правой части $9$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.3

Проверим значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Выберем значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 5.3.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{4 {(8)}^{2} - 12 \cdot 8 + 9} \geq 9$

Этап 5.3.3

Левая часть $13$ больше правой части $9$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 5.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 6$ Ложь

$x > 6$ Истина

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 6$ Ложь

$x > 6$ Истина

Этап 6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 3$ или $x \geq 6$

Этап 7

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 3] \cup [6, \infty)$

Этап 8